ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = 1$

б) $$$\cos 3x \cdot \cos 5x = \sin 3x \cdot \sin 5x$

Решить уравнение:

а) $$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = 1$;
$\sin(2x + x) = 1$;
$\sin 3x = 1$;
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

б) $$$\cos 3x \cdot \cos 5x = \sin 3x \cdot \sin 5x$;
$\cos 3x \cdot \cos 5x — \sin 3x \cdot \sin 5x = 0$;
$\cos(3x + 5x) = 0$;
$\cos 8x = 0$;
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$;
Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$.

а)

$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = 1$$

Шаг 1: Распознаём формулу

В левой части уравнения:

$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x$$

Это формула синуса суммы углов:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Применим с $A = 2x$, $B = x$:

$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = \sin(2x + x) = \sin 3x$$

Шаг 2: Получаем новое уравнение

$$\sin 3x = 1$$

Шаг 3: Решаем тригонометрическое уравнение

$$\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим к нашему уравнению:

$$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части на 3

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\cos 3x \cdot \cos 5x = \sin 3x \cdot \sin 5x$$

Шаг 1: Переносим всё в одну часть уравнения

$$\cos 3x \cdot \cos 5x — \sin 3x \cdot \sin 5x = 0$$

Шаг 2: Узнаём формулу

Это формула косинуса суммы углов:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Применим с $A = 3x$, $B = 5x$:

$$\cos 3x \cdot \cos 5x — \sin 3x \cdot \sin 5x = \cos(3x + 5x) = \cos 8x$$

Шаг 3: Получаем новое уравнение

$$\cos 8x = 0$$

Шаг 4: Решаем тригонометрическое уравнение

$$\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим к нашему уравнению:

$$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 5: Разделим обе части на 8

$$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$