ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$;
$\cos(6x — 5x) = -1$;
$\cos x = -1$;
$x = \pi + 2\pi n$;
Ответ: $\pi + 2\pi n$.

б) $$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0{,}5$;
$\sin(3x — 5x) = 0{,}5$;
$\sin(-2x) = 0{,}5$;
$-\sin 2x = 0{,}5$;
$\sin 2x = -\frac{1}{2}$;
$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

а)

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$$

Шаг 1: Узнаём тригонометрическую формулу

Выражение в левой части соответствует формуле косинуса разности углов:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B)$$

Шаг 2: Применим формулу

Пусть $A = 6x$, $B = 5x$:

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = \cos(6x — 5x) = \cos x$$

Шаг 3: Получаем уравнение

$$\cos x = -1$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos x = -1$

Значение косинуса равно $-1$ при:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0{,}5$$

Шаг 1: Узнаём тригонометрическую формулу

Левая часть — это формула синуса разности углов:

$$\sin A \cos B — \sin B \cos A = \sin(A — B)$$

(при замене порядка аргументов $A$ и $B$)

Шаг 2: Применим формулу

Пусть $A = 3x$, $B = 5x$:

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = \sin(3x — 5x) = \sin(-2x)$$

Шаг 3: Используем нечётность синуса

$$\sin(-2x) = -\sin 2x$$

Значит:

$$-\sin 2x = 0{,}5 \Rightarrow \sin 2x = -0{,}5$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\sin 2x = -\frac{1}{2}$

Общее решение:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Поскольку $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 5: Делим обе части на 2

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$