ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения на заданном промежутке:

а) $$$\sin 0{,}2x \cdot \cos 0{,}8x + \cos 0{,}2x \cdot \sin 0{,}8x = \cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x$;

$\sin(0{,}2x + 0{,}8x) = \cos(3x — 2x)$;

$\sin x = \cos x \quad | \div \cos x$;

$\tg x = 1$;

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Значения на отрезке $[0; 3\pi]$:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$;
$x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$;
$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$.

б) $$$\cos 0{,}7x \cdot \cos 1{,}3x — \sin 0{,}7x \cdot \sin 1{,}3x = \sin 7x \cdot \cos 9x — \sin 9x \cdot \cos 7x$;

$\cos(0{,}7x + 1{,}3x) = \sin(7x — 9x)$;

$\cos 2x = \sin(-2x)$;

$\cos 2x = -\sin 2x \quad | \div \cos 2x$;

$1 = -\tg 2x$;

$\tg 2x = -1$;

$2x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2}(-\frac{\pi}{4} + \pi n) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Значения на отрезке $[-\pi; \pi]$:

$x_1 = -\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{8}$;
$x_2 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}$;
$x_3 = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$;
$x_4 = -\frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$;

Ответ: $-\frac{5\pi}{8}; -\frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}; \frac{7\pi}{8}$.

а)

Уравнение:

$$\sin(0{,}2x) \cdot \cos(0{,}8x) + \cos(0{,}2x) \cdot \sin(0{,}8x) = \cos(3x) \cdot \cos(2x) + \sin(3x) \cdot \sin(2x)$$

Шаг 1: Применим формулы приведения

Левая часть:

Это формула синуса суммы:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Пусть $A = 0{,}2x, \, B = 0{,}8x$, тогда:

$$\sin(0{,}2x + 0{,}8x) = \sin x$$

Правая часть:

Это формула косинуса разности:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B)$$

Пусть $A = 3x, \, B = 2x$, тогда:

$$\cos(3x — 2x) = \cos x$$

Шаг 2: Получаем уравнение

$$\sin x = \cos x$$

Шаг 3: Делим обе части на $\cos x$ (предполагая, что $\cos x \ne 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \Rightarrow \tg x = 1$$

Шаг 4: Решаем уравнение

$$\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Подставим значения $n$ на отрезке $[0; 3\pi]$

• $n = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{4}$
• $n = 1$: $x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
• $n = 2$: $x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$
• $n = 3$: $x_4 = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} > 3\pi$ — выходит за границы

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}}$$

б)

Уравнение:

$$\cos(0{,}7x) \cdot \cos(1{,}3x) — \sin(0{,}7x) \cdot \sin(1{,}3x) = \sin(7x) \cdot \cos(9x) — \sin(9x) \cdot \cos(7x)$$

Шаг 1: Упрощаем обе части

Левая часть:
Формула косинуса суммы:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Пусть $A = 0{,}7x, \, B = 1{,}3x$, тогда:

$$\cos(0{,}7x + 1{,}3x) = \cos(2x)$$

Правая часть:
Формула синуса разности:

$$\sin A \cos B — \sin B \cos A = \sin(A — B)$$

Пусть $A = 7x, \, B = 9x$, тогда:

$$\sin(7x — 9x) = \sin(-2x)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\cos(2x) = \sin(-2x)$$

Шаг 3: Используем нечётность синуса

$$\sin(-2x) = -\sin(2x) \Rightarrow \cos(2x) = -\sin(2x)$$

Шаг 4: Делим на $\cos(2x)$ (при условии, что $\cos(2x) \ne 0$):

$$1 = -\tg(2x) \Rightarrow \tg(2x) = -1$$

Шаг 5: Решаем уравнение

$$\tg(2x) = -1 \Rightarrow 2x = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6: Подбираем значения на отрезке $[-\pi; \pi]$

Подставляем разные $n$:

• $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{8}$
• $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{8}$
• $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}$
• $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$
• $n = 3$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{8} > \pi$ — не подходит

Ответ:

$$\boxed{-\frac{5\pi}{8};\ -\frac{\pi}{8};\ \frac{3\pi}{8};\ \frac{7\pi}{8}}$$