ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $$$\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) — \frac{1}{2}\cos a = \left(\sin\frac{5\pi}{6} \cdot \cos a — \cos\frac{5\pi}{6} \cdot \sin a\right) — \frac{1}{2}\cos a =$
$= \frac{1}{2}\cos a — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sin a — \frac{1}{2}\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a;$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a.$

б) $\sqrt{3}\cos a — 2\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos a — 2\left(\cos a \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{6}\right) =$
$= \sqrt{3}\cos a — 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a\right) = \sqrt{3}\cos a — \sqrt{3}\cos a — \sin a = -\sin a;$

Ответ: $-\sin a.$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \left(\cos a \cdot \cos\frac{5\pi}{3} + \sin a \cdot \sin\frac{5\pi}{3}\right) =$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a = \frac{1}{2}\cos a;$

Ответ: $\frac{1}{2}\cos a.$

г) $\sqrt{2}\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) — \sin a = \sqrt{2} \cdot \left(\sin a \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos a \cdot \sin\frac{\pi}{4}\right) — \sin a =$
$= \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\right) — \sin a = \sin a — \cos a — \sin a = -\cos a;$

Ответ: $-\cos a\mathrm{.}$

а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) — \frac{1}{2}\cos a$

Шаг 1. Применим формулу синуса разности:

$$\sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y$$ $$\Rightarrow \sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) = \sin\frac{5\pi}{6} \cdot \cos a — \cos\frac{5\pi}{6} \cdot \sin a$$

Шаг 2. Знаем значения:

• $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\Rightarrow \sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) = \frac{1}{2}\cos a — (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin a = \frac{1}{2}\cos a + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Шаг 3. Подставим в выражение:

$$\left(\frac{1}{2}\cos a + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right) — \frac{1}{2}\cos a$$

Шаг 4. Упростим:

$$\frac{1}{2}\cos a — \frac{1}{2}\cos a = 0$$ $$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Ответ а):

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a}$$

б) $\sqrt{3}\cos a — 2\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1. Формула косинуса разности:

$$\cos(x — y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$$ $$\Rightarrow \cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Значения:

• $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$$\Rightarrow \cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a$$

Шаг 3. Умножим это на 2:

$$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a\right) = \sqrt{3}\cos a + \sin a$$

Шаг 4. Подставим в исходное выражение:

$$\sqrt{3}\cos a — (\sqrt{3}\cos a + \sin a)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$\sqrt{3}\cos a — \sqrt{3}\cos a — \sin a = -\sin a$$

Ответ б):

$$\boxed{-\sin a}$$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right)$

Шаг 1. Формула косинуса разности:

$$\cos(x — y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$$ $$\Rightarrow \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{5\pi}{3} + \sin a \cdot \sin\frac{5\pi}{3}$$

Шаг 2. Значения:

• $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
• $\sin\frac{5\pi}{3} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\Rightarrow \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Шаг 3. Подставим в выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \left(\frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)$$

Шаг 4. Упростим:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a = 0$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2}\cos a$$

Ответ в):

$$\boxed{\frac{1}{2}\cos a}$$

г) $\sqrt{2}\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) — \sin a$

Шаг 1. Формула синуса разности:

$$\sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y$$ $$\Rightarrow \sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos a \cdot \sin\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Значения:

• $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\Rightarrow \sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$$

Шаг 3. Умножим всё на $\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\right) = \sin a — \cos a$$

Шаг 4. Подставим в исходное выражение:

$$(\sin a — \cos a) — \sin a = \sin a — \cos a — \sin a = -\cos a$$

Ответ г):

$$\boxed{-\cos a}$$