ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $$$\cos(a — \beta) — \cos a \cdot \cos \beta =$

б) $$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) =$

в) $$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta) =$

г) $$$\cos (a-\beta )-\cos (a+\beta )$

Упростить выражение:

а) $$$\cos(a — \beta) — \cos a \cdot \cos \beta =$
$= (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \cos \beta = \sin a \cdot \sin \beta;$
Ответ: $\sin a \cdot \sin \beta.$

б) $$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) =$
$= (\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta) + (\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta) = 2 \sin a \cdot \cos \beta;$
Ответ: $2 \sin a \cdot \cos \beta.$

в) $$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta) =$
$= \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = \cos a \cdot \sin \beta;$
Ответ: $\cos a \cdot \sin \beta.$

г) $$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) =$
$= (\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) — (\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta) = 2 \sin a \cdot \sin \beta;$
Ответ: $2 \sin a \cdot \sin \beta.$

а) $\cos(a — \beta) — \cos a \cdot \cos \beta$

Шаг 1. Используем формулу косинуса разности:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Подставим формулу в выражение:

$$\cos(a — \beta) — \cos a \cdot \cos \beta = (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3. Раскроем скобки и упростим:

$$\cos a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \cos \beta = 0$$ $$\Rightarrow \sin a \cdot \sin \beta$$

Ответ а):

$$\boxed{\sin a \cdot \sin \beta}$$

б) $\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)$

Шаг 1. Формула синуса суммы и разности:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$ $$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Сложим два выражения:

$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) + (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta)$$

Шаг 3. Упростим:

• $+\cos a \cdot \sin \beta — \cos a \cdot \sin \beta = 0$
• $\sin a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \cos \beta = 2 \sin a \cdot \cos \beta$

Ответ б):

$$\boxed{2 \sin a \cdot \cos \beta}$$

в) $\sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)$

Шаг 1. Формула синуса разности:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Подставим:

$$\sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta)$$

Шаг 3. Раскроем скобки (учтите знак минус перед скобкой):

$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4. Упростим:

$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta = 0$$ $$\Rightarrow \cos a \cdot \sin \beta$$

Ответ в):

$$\boxed{\cos a \cdot \sin \beta}$$

г) $\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)$

Шаг 1. Формулы косинуса суммы и разности:

• $\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$
• $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$

Шаг 2. Вычтем:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$= \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta — \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4. Упростим:

• $\cos a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \cos \beta = 0$
• $\sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta = 2 \sin a \cdot \sin \beta$

Ответ г):

$$\boxed{2 \sin a \cdot \sin \beta}$$