ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a;$

б) $$$\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta;$

Доказать тождество:

а) $$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a;$
$(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta = \sin \beta \cdot \cos a;$
$\cos a \cdot \sin \beta = \sin \beta \cdot \cos a;$
Тождество доказано.

б) $$$\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta;$
$(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta;$
$\cos a \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \cos \beta;$
Тождество доказано.

а)

$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a$$

Шаг 1. Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Используем свойства функций:

• $\sin(-a) = -\sin a$ — синус нечетная функция
• $\cos(-\beta) = \cos \beta$ — косинус четная функция

$$\Rightarrow \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = (-\sin a) \cdot \cos \beta = -\sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3. Подставим обе части в исходное выражение:

$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) =$$ $$= (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) + (-\sin a \cdot \cos \beta)$$

Шаг 4. Упростим:

$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta = 0$$ $$\Rightarrow \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 5. Правая часть равенства:

$$\sin \beta \cdot \cos a$$

Шаг 6. Проверим равенство:

$$\cos a \cdot \sin \beta = \sin \beta \cdot \cos a$$

Верно, поскольку умножение — операция коммутативная.

Тождество доказано.

б)

$$\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 1. Формула косинуса суммы:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Свойства функций:

• $\sin(-a) = -\sin a$
• $\sin(-\beta) = -\sin \beta$

$$\Rightarrow \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = (-\sin a) \cdot (-\sin \beta) = \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 3. Подставим обе части в выражение:

$$\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) =$$ $$= (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4. Упростим:

$$— \sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta = 0$$ $$\Rightarrow \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 5. Правая часть равенства:

$$\cos a \cdot \cos \beta$$

Совпадает.

Тождество доказано.