1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10-11 Класс по Алгебре- Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Класс
10
Предмет
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите тождество:

а) sin⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅cos⁡(−β)=sin⁡β⋅cos⁡a;\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a;

б) cos⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅sin⁡(−β)=cos⁡a⋅cos⁡β \cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta;

Краткий ответ

Доказать тождество:

а) sin⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅cos⁡(−β)=sin⁡β⋅cos⁡a;\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a;
(sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β)−sin⁡a⋅cos⁡β=sin⁡β⋅cos⁡a;(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta = \sin \beta \cdot \cos a;
cos⁡a⋅sin⁡β=sin⁡β⋅cos⁡a;\cos a \cdot \sin \beta = \sin \beta \cdot \cos a;
Тождество доказано.

б) cos⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅sin⁡(−β)=cos⁡a⋅cos⁡β;\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta;
(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β)+sin⁡a⋅sin⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β;(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta = \cos a \cdot \cos \beta;
cos⁡a⋅cos⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β;\cos a \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \cos \beta;
Тождество доказано.

Подробный ответ

а)

sin⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅cos⁡(−β)=sin⁡β⋅cos⁡a\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = \sin \beta \cdot \cos a

Шаг 1. Используем формулу суммы синусов:

sin⁡(a+β)=sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta

Шаг 2. Используем свойства функций:

  • sin⁡(−a)=−sin⁡a\sin(-a) = -\sin a — синус нечетная функция
  • cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta) = \cos \beta — косинус четная функция

⇒sin⁡(−a)⋅cos⁡(−β)=(−sin⁡a)⋅cos⁡β=−sin⁡a⋅cos⁡β\Rightarrow \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = (-\sin a) \cdot \cos \beta = -\sin a \cdot \cos \beta

Шаг 3. Подставим обе части в исходное выражение:

sin⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅cos⁡(−β)=\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = =(sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡β)+(−sin⁡a⋅cos⁡β)= (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) + (-\sin a \cdot \cos \beta)

Шаг 4. Упростим:

sin⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅cos⁡β=0\sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta = 0 ⇒cos⁡a⋅sin⁡β\Rightarrow \cos a \cdot \sin \beta

Шаг 5. Правая часть равенства:

sin⁡β⋅cos⁡a\sin \beta \cdot \cos a

Шаг 6. Проверим равенство:

cos⁡a⋅sin⁡β=sin⁡β⋅cos⁡a\cos a \cdot \sin \beta = \sin \beta \cdot \cos a

Верно, поскольку умножение — операция коммутативная.

Тождество доказано.

б)

cos⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅sin⁡(−β)=cos⁡a⋅cos⁡β\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot \cos \beta

Шаг 1. Формула косинуса суммы:

cos⁡(a+β)=cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta

Шаг 2. Свойства функций:

  • sin⁡(−a)=−sin⁡a\sin(-a) = -\sin a
  • sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta) = -\sin \beta

⇒sin⁡(−a)⋅sin⁡(−β)=(−sin⁡a)⋅(−sin⁡β)=sin⁡a⋅sin⁡β\Rightarrow \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = (-\sin a) \cdot (-\sin \beta) = \sin a \cdot \sin \beta

Шаг 3. Подставим обе части в выражение:

cos⁡(a+β)+sin⁡(−a)⋅sin⁡(−β)=\cos(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \sin(-\beta) = =(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β)+sin⁡a⋅sin⁡β= (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta

Шаг 4. Упростим:

−sin⁡a⋅sin⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β=0— \sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta = 0 ⇒cos⁡a⋅cos⁡β\Rightarrow \cos a \cdot \cos \beta

Шаг 5. Правая часть равенства:

cos⁡a⋅cos⁡β\cos a \cdot \cos \beta

Совпадает.

Тождество доказано.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.8 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10