ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\sin (\frac{\pi }{3}-x);$

б) $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos (\frac{\pi }{3}-x)$

Доказать тождество:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right);$

Преобразуем правую часть равенства:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x;$

Тождество доказано.

б) $\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right);$

Преобразуем правую часть равенства:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x;$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right)$$

Шаг 1. Начнем с правой части:

Используем формулу синуса разности:

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta$$

Положим:

• $\alpha = \frac{\pi}{3}$
• $\beta = x$

Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Шаг 2. Подставим точные значения тригонометрических функций:

• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Подставим в формулу:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x$$

Шаг 3. Сравним с левой частью:

Левая часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x$$

Правая часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x$$

Обе части равны.

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right)$$

Шаг 1. Начнем с правой части:

Используем формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Положим:

• $\alpha = \frac{\pi}{3}$
• $\beta = x$

Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Шаг 2. Подставим значения:

• $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$

Шаг 3. Сравним с левой частью:

Левая часть:

$$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$

Правая часть:

$$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$

Они совпадают.

Тождество доказано.