ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $$$\sin(30^\circ — a) — \cos(60^\circ — a) = -\sqrt{3} \sin a$;
$(\sin 30^\circ \cos a — \cos 30^\circ \sin a) — (\cos 60^\circ \cos a + \sin 60^\circ \sin a) = -\sqrt{3} \sin a$;
$\frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a = -\sqrt{3} \sin a$;
$-\sqrt{3} \sin a = -\sqrt{3} \sin a$;
Тождество доказано.

б) $$$\sin(30^\circ — a) + \sin(30^\circ + a) = \cos a$;
$(\sin 30^\circ \cos a — \cos 30^\circ \sin a) + (\sin 30^\circ \cos a + \cos 30^\circ \sin a) = \cos a$;
$\frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a = \cos a$;
$\cos a = \cos a$;
Тождество доказано.

а)

Докажем, что:

$$\sin(30^\circ — a) — \cos(60^\circ — a) = -\sqrt{3} \sin a$$

Шаг 1: Раскрываем скобки по формулам синуса и косинуса разности

Формула разности для синуса:

$$\sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y$$

Применим к $\sin(30^\circ — a)$:

$$\sin(30^\circ — a) = \sin 30^\circ \cos a — \cos 30^\circ \sin a$$

Формула разности для косинуса:

$$\cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$$

Применим к $\cos(60^\circ — a)$:

$$\cos(60^\circ — a) = \cos 60^\circ \cos a + \sin 60^\circ \sin a$$

Шаг 2: Подставляем числовые значения тригонометрических функций

Значения стандартных углов:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим:

$$\sin(30^\circ — a) = \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$ $$\cos(60^\circ — a) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Шаг 3: Вычтем выражения

Подставим обе части в левую сторону исходного выражения:

$$\sin(30^\circ — a) — \cos(60^\circ — a) = \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right)$$

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим

$$\left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) =$$

Раскрываем вторую скобку с минусом:

$$= \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Теперь приводим подобные:

• $\frac{1}{2} \cos a — \frac{1}{2} \cos a = 0$
• $-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a = -\sqrt{3} \sin a$

Итак:

$$\sin(30^\circ — a) — \cos(60^\circ — a) = -\sqrt{3} \sin a$$

Шаг 5: Приравниваем левую и правую части

$$-\sqrt{3} \sin a = -\sqrt{3} \sin a$$

Тождество доказано.

б)

Докажем, что:

$$\sin(30^\circ — a) + \sin(30^\circ + a) = \cos a$$

Шаг 1: Раскрываем скобки по формулам синуса суммы и разности

Формула для разности:

$$\sin(30^\circ — a) = \sin 30^\circ \cos a — \cos 30^\circ \sin a$$

Формула для суммы:

$$\sin(30^\circ + a) = \sin 30^\circ \cos a + \cos 30^\circ \sin a$$

Шаг 2: Складываем выражения

$$\sin ({30}^{\circ }-a)+\sin ({30}^{\circ }+a)=(\sin {30}^{\circ }\cos a-\cos {30}^{\circ }\sin a)+$$

$$\sin(30^\circ — a) + \sin(30^\circ + a) = (\sin 30^\circ \cos a — \cos 30^\circ \sin a) + (\sin 30^\circ \cos a + \cos 30^\circ \sin a)$$

Шаг 3: Подставим значения функций

$$= \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) + \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right)$$

Шаг 4: Упростим выражение

Складываем:

• $\frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{2} \cos a = \cos a$
• $-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a = 0$

Итак:

$$\sin(30^\circ — a) + \sin(30^\circ + a) = \cos a$$

Шаг 5: Приравниваем обе части

$$\cos a = \cos a$$

Тождество доказано.