ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $$$\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$;

б) $$$\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$

Доказать тождество:

а) $$$\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$;
$\sin(5x + 3x) = \sin 8x$;
$\sin 8x = \sin 8x$;
Тождество доказано.

б) $$$\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$;
$\cos(5x + 3x) = \cos 8x$;
$\cos 8x = \cos 8x$;
Тождество доказано.

а)

Доказать, что:

$$\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin 8x$$

Шаг 1: Узнаём, к какой формуле относится выражение

В левой части выражения:

$$\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x$$

Это — точное соответствие формуле синуса суммы двух углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

Шаг 2: Применяем формулу

Сравниваем:

• $A = 5x$
• $B = 3x$

Тогда:

$$\sin 5x \cdot \cos 3x + \cos 5x \cdot \sin 3x = \sin(5x + 3x) = \sin(8x)$$

Шаг 3: Приравниваем левую и правую часть

$$\sin(8x) = \sin(8x)$$

Тождество доказано.

б)

Доказать, что:

$$\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos 8x$$

Шаг 1: Распознаём используемую формулу

В левой части:

$$\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x$$

Это — точное соответствие формуле косинуса суммы двух углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B$$

Шаг 2: Применяем формулу

Сравниваем:

• $A = 5x$
• $B = 3x$

Тогда:

$$\cos 5x \cdot \cos 3x — \sin 5x \cdot \sin 3x = \cos(5x + 3x) = \cos(8x)$$

Шаг 3: Приравниваем обе части

$$\cos(8x) = \cos(8x)$$

Тождество доказано.