ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $$$\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$;

б) $$$\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$

Доказать тождество:

а) $$$\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$;
$\sin(7x — 4x) = \sin 3x$;
$\sin 3x = \sin 3x$;
Тождество доказано.

б) $$$\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$;
$\cos(2x — 12x) = \cos 10x$;
$\cos(-10x) = \cos 10x$;
$\cos 10x = \cos 10x$;
Тождество доказано.

а)

Доказать, что:

$$\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin 3x$$

Шаг 1: Определим используемую формулу

В левой части:

$$\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x$$

Это соответствует формуле разности аргументов для синуса:

$$\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

Шаг 2: Применим формулу

Положим:

• $A = 7x$
• $B = 4x$

Тогда:

$$\sin 7x \cdot \cos 4x — \cos 7x \cdot \sin 4x = \sin(7x — 4x) = \sin(3x)$$

Шаг 3: Приравниваем к правой части тождества

$$\sin(3x) = \sin(3x)$$

Тождество доказано.

б)

Доказать, что:

$$\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos 10x$$

Шаг 1: Распознаем используемую формулу

Левая часть:

$$\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x$$

Это точно соответствует формуле косинуса разности двух углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

Шаг 2: Применим формулу

Положим:

• $A = 2x$
• $B = 12x$

Тогда:

$$\cos 2x \cdot \cos 12x + \sin 2x \cdot \sin 12x = \cos(2x — 12x) = \cos(-10x)$$

Шаг 3: Учитываем чётность функции косинуса

Функция косинуса — чётная, т.е.:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$

Следовательно:

$$\cos(-10x) = \cos(10x)$$

Шаг 4: Приравниваем левую и правую части

$$\cos(10x) = \cos(10x)$$

Тождество доказано.