ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойства числовых неравенств, исследовать функцию на монотонность:

а) $y=8x+3$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:
$8x_2>8x_1;$
$8x_2+3>8x_1+3;$
$y(x_2)>y(x_1);$

Ответ: возрастает.

б) $y=5-2x$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:
$-2x_2<-2x_1;$
$5-2x_2<5-2x_1;$
$y(x_2)<y(x_1);$

Ответ: убывает.

в) $y=\frac{x}{3}+1$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:
$\frac{x_2}{3}>\frac{x_1}{3};$
$\frac{x_2}{3}+1>\frac{x_1}{3}+1;$
$y(x_2)>y(x_1);$

Ответ: возрастает.

г) $y=\frac{1}{3}-\frac{2x}{5}$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:
$-\frac{2x_2}{5}<-\frac{2x_1}{5};$
$\frac{1}{3}-\frac{2x_2}{5}<\frac{1}{3}-\frac{2x_1}{5};$
$y(x_2)<y(x_1);$

Ответ: убывает.

Исследование функции на монотонность с использованием свойств числовых неравенств.

Для того чтобы исследовать функции на монотонность, воспользуемся методом анализа знаков выражений, получаемых при сравнении значений функции в точках $x_1$ и $x_2$, где $x_2>x_1$. Для каждой функции нужно установить, как изменяется её значение при увеличении аргумента $x$, и на основе этого сделать вывод о том, возрастает или убывает функция.

а) $y=8x+3$

Шаг 1. Пусть $x_2>x_1$, где $x_1$ и $x_2$ — любые два числа, такие что $x_2>x_1$. Нам нужно сравнить значения функции в этих точках: $y(x_1)$ и $y(x_2)$.

Шаг 2. Подставим выражения для значений функции в точках $x_1$ и $x_2$:

• Значение функции в точке $x_1$: $y(x_1)=8x_1+3$
• Значение функции в точке $x_2$: $y(x_2)=8x_2+3$

Шаг 3. Так как $x_2>x_1$, то:

$$8x_2>8x_1(\text{так как }8>0)$$

Шаг 4. Добавляем к обеим частям неравенства 3:

$$8x_2+3>8x_1+3$$

Шаг 5. Это означает, что:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 6. Поскольку $y(x_2)>y(x_1)$, функция $y=8x+3$ возрастает.

Ответ: функция возрастает.

б) $y=5-2x$

Шаг 1. Пусть $x_2>x_1$, где $x_1$ и $x_2$ — любые два числа, такие что $x_2>x_1$. Нам нужно сравнить значения функции в этих точках: $y(x_1)$ и $y(x_2)$.

Шаг 2. Подставим выражения для значений функции в точках $x_1$ и $x_2$:

• Значение функции в точке $x_1$: $y(x_1)=5-2x_1$
• Значение функции в точке $x_2$: $y(x_2)=5-2x_2$

Шаг 3. Так как $x_2>x_1$, то:

$$-2x_2<-2x_1(\text{так как }-2<0)$$

Шаг 4. Добавляем к обеим частям неравенства 5:

$$5-2x_2<5-2x_1$$

Шаг 5. Это означает, что:

$$y(x_2)<y(x_1)$$

Шаг 6. Поскольку $y(x_2)<y(x_1)$, функция $y=5-2x$ убывает.

Ответ: функция убывает.

в) $y=\frac{x}{3}+1$

Шаг 1. Пусть $x_2>x_1$, где $x_1$ и $x_2$ — любые два числа, такие что $x_2>x_1$. Нам нужно сравнить значения функции в этих точках: $y(x_1)$ и $y(x_2)$.

Шаг 2. Подставим выражения для значений функции в точках $x_1$ и $x_2$:

• Значение функции в точке $x_1$: $y(x_1)=\frac{x_1}{3}+1$
• Значение функции в точке $x_2$: $y(x_2)=\frac{x_2}{3}+1$

Шаг 3. Так как $x_2>x_1$, то:

$$\frac{x_2}{3}>\frac{x_1}{3}(\text{так как }\frac{1}{3}>0)$$

Шаг 4. Добавляем к обеим частям неравенства 1:

$$\frac{x_2}{3}+1>\frac{x_1}{3}+1$$

Шаг 5. Это означает, что:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 6. Поскольку $y(x_2)>y(x_1)$, функция $y=\frac{x}{3}+1$ возрастает.

Ответ: функция возрастает.

г) $y=\frac{1}{3}-\frac{2x}{5}$

Шаг 1. Пусть $x_2>x_1$, где $x_1$ и $x_2$ — любые два числа, такие что $x_2>x_1$. Нам нужно сравнить значения функции в этих точках: $y(x_1)$ и $y(x_2)$.

Шаг 2. Подставим выражения для значений функции в точках $x_1$ и $x_2$:

• Значение функции в точке $x_1$: $y(x_1)=\frac{1}{3}-\frac{2x_1}{5}$
• Значение функции в точке $x_2$: $y(x_2)=\frac{1}{3}-\frac{2x_2}{5}$

Шаг 3. Так как $x_2>x_1$, то:

$$-\frac{2x_2}{5}<-\frac{2x_1}{5}(\text{так как }-\frac{2}{5}<0)$$

Шаг 4. Добавляем к обеим частям неравенства $\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{3}-\frac{2x_2}{5}<\frac{1}{3}-\frac{2x_1}{5}$$

Шаг 5. Это означает, что:

$$y(x_2)<y(x_1)$$

Шаг 6. Поскольку $y(x_2)<y(x_1)$, функция $y=\frac{1}{3}-\frac{2x}{5}$ убывает.

Ответ: функция убывает.

Итоговый ответ:

• Функция $y=8x+3$ возрастает.
• Функция $y=5-2x$ убывает.
• Функция $y=\frac{x}{3}+1$ возрастает.
• Функция $y=\frac{1}{3}-\frac{2x}{5}$ убывает.