ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на четность:

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1$;

Область определения функции:
$x \in \mathbb{R};$

Область определения симметрична:
$y(-x) = (-x)^2 + 2(-x)^4 + 1;$
$y(-x) = x^2 + 2x^4 + 1 = y(x);$

Ответ: четная.

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$;

Область определения функции:
$x^2 + 1 \neq 0;$
$x \in \mathbb{R};$

Область определения симметрична:
$y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1} = -y(x);$

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 — x^4}$;

Область определения функции:
$1 — x^4 \neq 0;$
$x \neq \pm 1;$

Область определения симметрична:
$y(-x) = \frac{-3(-x)^2 + 1}{1 — (-x)^4} = \frac{-3x^2 + 1}{1 — x^4} = y(x);$

Ответ: четная.

г) $y = 5 — 3x^3$;

Область определения функции:
$x \in \mathbb{R};$

Область определения симметрична:
$y(-x) = 5 — 3(-x)^3 = 5 + 3x^3;$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1$

Шаг 1: Область определения функции

Область определения функции — это множество всех возможных значений $x$, для которых выражение в правой части функции имеет смысл.

Для данной функции:

$$y = x^2 + 2x^4 + 1$$

Здесь нет ни дробей, ни корней, которые могут ограничить область определения. Следовательно, область определения функции:

$$x \in \mathbb{R}$$

Шаг 2: Проверка симметрии функции

Чтобы проверить, является ли функция четной, нужно рассмотреть выражение $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Вычислим $y(-x)$:

$$y(-x) = (-x)^2 + 2(-x)^4 + 1$$

Теперь упростим:

$$y(-x) = x^2 + 2x^4 + 1$$

Это точно то же самое, что и исходная функция $y(x) = x^2 + 2x^4 + 1$.

Шаг 3: Заключение

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Шаг 1: Область определения функции

Функция имеет дробь. Чтобы определить область определения, нужно удостовериться, что знаменатель не равен нулю:

$$x^2 + 1 \neq 0$$

Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то дробь всегда определена. Следовательно, область определения функции:

$$x \in \mathbb{R}$$

Шаг 2: Проверка симметрии функции

Для проверки симметрии функции на четность, нужно рассчитать $y(-x)$ и сравнить с $y(x)$.

Вычислим $y(-x)$:

$$y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1}$$

Обратите внимание, что $(-x)^2 = x^2$, и выражение сводится к:

$$y(-x) = -\frac{x}{x^2 + 1}$$

Сравнив это с исходной функцией:

$$y(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$

Мы видим, что:

$$y(-x) = -y(x)$$

Шаг 3: Заключение

Так как $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 — x^4}$

Шаг 1: Область определения функции

Функция имеет дробь. Чтобы определить область определения, необходимо, чтобы знаменатель был отличен от нуля:

$$1 — x^4 \neq 0$$

Решим неравенство:

$$x^4 \neq 1$$

Это означает, что $x \neq \pm 1$. Следовательно, область определения функции:

$$x \in \mathbb{R}, \, x \neq \pm 1$$

Шаг 2: Проверка симметрии функции

Рассмотрим $y(-x)$ и сравним его с $y(x)$.

Вычислим $y(-x)$:

$$y(-x) = \frac{-3(-x)^2 + 1}{1 — (-x)^4} = \frac{-3x^2 + 1}{1 — x^4}$$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^4 = x^4$, мы получаем:

$$y(-x) = \frac{-3x^2 + 1}{1 — x^4}$$

Это точно то же самое, что и $y(x)$.

Шаг 3: Заключение

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = 5 — 3x^3$

Шаг 1: Область определения функции

Для данной функции нет ограничений, так как нет дробей или корней, которые могут ограничить область определения. Следовательно, область определения:

$$x \in \mathbb{R}$$

Шаг 2: Проверка симметрии функции

Вычислим $y(-x)$:

$$y(-x) = 5 — 3(-x)^3 = 5 + 3x^3$$

Сравнив это с исходной функцией:

$$y(x) = 5 — 3x^3$$

Мы видим, что:

$$y(-x) = 5 + 3x^3 \neq y(x)$$

и также:

$$y(-x) \neq -y(x)$$

Шаг 3: Заключение

Так как функция не удовлетворяет ни условию четности, ни условию нечетности, то она не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

Итоговые ответы:

а) четная

б) нечетная

в) четная

г) ни четная, ни нечетная