ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойства числовых неравенств, исследовать функцию на монотонность:

а) $y=\sqrt{x^3+1}$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3;$$$$(x_2{)}^3+1>(x_1{)}^3+1;$$$$\sqrt{(x_2{)}^3+1}>\sqrt{(x_1{)}^3+1};$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

б) $y=5-x^5-\sqrt{2x^3}$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^5>(x_1{)}^5,2(x_2{)}^3>2(x_1{)}^3;$$$$-(x_2{)}^5<-(x_1{)}^5,\sqrt{2(x_2{)}^3}>\sqrt{2(x_1{)}^3};$$$$5-(x_2{)}^5<5-(x_1{)}^5,-\sqrt{2(x_2{)}^3}<-\sqrt{2(x_1{)}^3};$$$$5-(x_2{)}^5-\sqrt{2(x_2{)}^3}<5-(x_1{)}^5-\sqrt{2(x_1{)}^3};$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

в) $y=2-\sqrt{x}$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1};$$$$-\sqrt{x_2}<-\sqrt{x_1};$$$$2-\sqrt{x_2}<2-\sqrt{x_1};$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

г) $y=\sqrt{x^7}+x-1$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^7>(x_1{)}^7,x_2-1>x_1-1;$$$$\sqrt{(x_2{)}^7}>\sqrt{(x_1{)}^7},x_2-1>x_1-1;$$$$\sqrt{(x_2{)}^7}+x_2-1>\sqrt{(x_1{)}^7}+x_1-1;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

а) $y=\sqrt{x^3+1}$

Шаг 1: Исходное уравнение

Дано, что функция:

$$y=\sqrt{x^3+1}$$

Нужно исследовать её монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Предположим, что $x_2>x_1$ для двух произвольных значений $x_2$ и $x_1$ из области определения функции. Тогда рассмотрим:

Для $x^3$ верно, что:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3$$

Это справедливо, так как куб числа возрастает, то есть если $x_2>x_1$, то и кубы этих чисел будут также удовлетворять неравенству.

Теперь прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$$(x_2{)}^3+1>(x_1{)}^3+1$$

Прибавление одного и того же числа сохраняет неравенство.

Шаг 3: Применение функции $\sqrt{}$

Теперь применим функцию $\sqrt{}$ к обеим частям неравенства. Поскольку функция $f(x)=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x\ge 0$ (она увеличивается с увеличением аргумента), мы можем записать:

$$\sqrt{(x_2{)}^3+1}>\sqrt{(x_1{)}^3+1}$$

Шаг 4: Заключение

Поскольку $\sqrt{(x_2{)}^3+1}>\sqrt{(x_1{)}^3+1}$, то:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Таким образом, функция $y=\sqrt{x^3+1}$ возрастает на своём промежутке, если $x_2>x_1$.

Ответ: функция возрастает.

б) $y=5-x^5-\sqrt{2x^3}$

Шаг 1: Исходное уравнение

Функция:

$$y=5-x^5-\sqrt{2x^3}$$

Необходимо исследовать её монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Предположим, что $x_2>x_1$, для двух произвольных значений $x_2$ и $x_1$. Рассмотрим два компонента функции: $x^5$ и $\sqrt{2x^3}$.

Для $x^5$:

$$(x_2{)}^5>(x_1{)}^5$$

Это верно, поскольку функция $f(x)=x^5$ возрастает для всех $x$, то есть если $x_2>x_1$, то $(x_2{)}^5>(x_1{)}^5$.

Для $\sqrt{2x^3}$:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3$$

Следовательно:

$$\sqrt{2(x_2{)}^3}>\sqrt{2(x_1{)}^3}$$

Это верно, так как функция $f(x)=\sqrt{x}$ возрастает, и аналогично для функции $\sqrt{2x^3}$.

Шаг 3: Применение минуса

Теперь применим минус к полученным неравенствам:

Для $-x^5$:

$$-(x_2{)}^5<-(x_1{)}^5$$

Для $-\sqrt{2x^3}$:

$$-\sqrt{2(x_2{)}^3}<-\sqrt{2(x_1{)}^3}$$

Шаг 4: Сложение неравенств

Теперь сложим все части:

$$5-(x_2{)}^5-\sqrt{2(x_2{)}^3}<5-(x_1{)}^5-\sqrt{2(x_1{)}^3}$$

Это неравенство показывает, что $y(x_2)<y(x_1)$, то есть функция убывает.

Ответ: функция убывает.

в) $y=2-\sqrt{x}$

Шаг 1: Исходное уравнение

Функция:

$$y=2-\sqrt{x}$$

Исследуем её монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Предположим, что $x_2>x_1$. Тогда:

Для функции $\sqrt{x}$, так как она возрастает на $x\ge 0$, имеем:

$$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$$

Теперь применим минус:

$$-\sqrt{x_2}<-\sqrt{x_1}$$

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь прибавим 2 к обеим частям:

$$2-\sqrt{x_2}<2-\sqrt{x_1}$$

Это означает, что $y(x_2)<y(x_1)$, то есть функция убывает.

Ответ: функция убывает.

г) $y=\sqrt{x^7}+x-1$

Шаг 1: Исходное уравнение

Функция:

$$y=\sqrt{x^7}+x-1$$

Нужно исследовать её монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Предположим, что $x_2>x_1$. Рассмотрим два компонента функции: $\sqrt{x^7}$ и $x$.

Для $\sqrt{x^7}$, так как $x^7$ — функция, которая возрастает на $x\ge 0$, имеем:

$$(x_2{)}^7>(x_1{)}^7$$

и следовательно:

$$\sqrt{(x_2{)}^7}>\sqrt{(x_1{)}^7}$$

Для $x$, так как функция $f(x)=x$ возрастает:

$$x_2-1>x_1-1$$

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь сложим все части:

$$\sqrt{(x_2{)}^7}+x_2-1>\sqrt{(x_1{)}^7}+x_1-1$$

Это означает, что $y(x_2)>y(x_1)$, то есть функция возрастает.

Ответ: функция возрастает.

Итоговые ответы:

а) функция возрастает.

б) функция убывает.

в) функция убывает.

г) функция возрастает.