ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}, \, x \in [2; +\infty)$;

б) $y = -\sqrt{x}, \, x \in [1; 9]$;

в) $y = \sqrt{x}, \, x \in [1,44; 6,25]$;

г) $y = -\sqrt{x}, \, x \in (0; 1,69]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}, \, x \in [2; +\infty)$;

Функция возрастает на $[0; +\infty)$:

$y_{\text{наим}} = y(2) = \sqrt{2}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = \sqrt{2}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$

б) $y = -\sqrt{x}, \, x \in [1; 9]$;

Функция убывает на $[0; +\infty)$:

$y_{\text{наим}} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$;

$y_{\text{наиб}} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3; \, y_{\text{наиб}} = -1.$

в) $y = \sqrt{x}, \, x \in [1,44; 6,25]$;

Функция возрастает на $[0; +\infty)$:

$y_{\text{наим}} = y(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$;

$y_{\text{наиб}} = y(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 1,2; \, y_{\text{наиб}} = 2,5.$

г) $y = -\sqrt{x}, \, x \in (0; 1,69]$;

Функция убывает на $[0; +\infty)$:

$y_{\text{наим}} = y(1,69) = -\sqrt{1,69} = -1,3$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1,3; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$

а) $y = \sqrt{x}, \, x \in [2; +\infty)$

Анализ функции:

• Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на интервале $[0; +\infty)$, так как производная $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда положительна для $x > 0$.
• Поскольку на данном интервале $x \geq 2$, то функция будет возрастать на этом промежутке.

Нахождение наименьшего значения:

• Наименьшее значение функции будет достигаться при наименьшем значении $x$, то есть при $x = 2$.
• Подставляем $x = 2$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наим}} = y(2) = \sqrt{2}$$

• Таким образом, наименьшее значение функции:

  $$y_{\text{наим}} = \sqrt{2}$$

Нахождение наибольшего значения:

• Так как функция возрастает и предел при $x \to +\infty$ для $y = \sqrt{x}$ стремится к бесконечности, то наибольшего значения на данном интервале не существует.
• Таким образом:

  $$y_{\text{наиб}} = -\infty$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = \sqrt{2}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$$

б) $y = -\sqrt{x}, \, x \in [1; 9]$

Анализ функции:

• Функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей на интервале $[1; +\infty)$, так как её производная $\frac{d}{dx} \left( -\sqrt{x} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ отрицательна для $x > 0$.
• Поскольку на данном интервале $x \in [1; 9]$, функция будет убывать на этом промежутке.

Нахождение наибольшего значения:

• Наибольшее значение функции будет достигаться при наибольшем значении $x$, то есть при $x = 1$.
• Подставляем $x = 1$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наиб}} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$$

• Таким образом, наибольшее значение функции:

  $$y_{\text{наиб}} = -1$$

Нахождение наименьшего значения:

• Наименьшее значение функции будет достигаться при наибольшем значении $x$, то есть при $x = 9$.
• Подставляем $x = 9$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наим}} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$$

• Таким образом, наименьшее значение функции:

  $$y_{\text{наим}} = -3$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -3; \, y_{\text{наиб}} = -1.$$

в) $y = \sqrt{x}, \, x \in [1,44; 6,25]$

Анализ функции:

• Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на интервале $[0; +\infty)$, так как её производная $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна для всех $x > 0$.
• Поскольку на данном интервале $x \in [1,44; 6,25]$, функция будет возрастать на этом промежутке.

Нахождение наименьшего значения:

• Наименьшее значение функции будет достигаться при наименьшем значении $x$, то есть при $x = 1,44$.
• Подставляем $x = 1,44$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наим}} = y(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$$

• Таким образом, наименьшее значение функции:

  $$y_{\text{наим}} = 1,2$$

Нахождение наибольшего значения:

• Наибольшее значение функции будет достигаться при наибольшем значении $x$, то есть при $x = 6,25$.
• Подставляем $x = 6,25$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наиб}} = y(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$$

• Таким образом, наибольшее значение функции:

  $$y_{\text{наиб}} = 2,5$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1,2; \, y_{\text{наиб}} = 2,5.$$

г) $y = -\sqrt{x}, \, x \in (0; 1,69]$

Анализ функции:

• Функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей на интервале $(0; +\infty)$, так как её производная $\frac{d}{dx} \left( -\sqrt{x} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ отрицательна для всех $x > 0$.
• Поскольку на данном интервале $x \in (0; 1,69]$, функция будет убывать на этом промежутке.

Нахождение наименьшего значения:

• Наименьшее значение функции будет достигаться при наибольшем значении $x$, то есть при $x = 1,69$.
• Подставляем $x = 1,69$ в выражение для $y$:

  $$y_{\text{наим}} = y(1,69) = -\sqrt{1,69} = -1,3$$

• Таким образом, наименьшее значение функции:

  $$y_{\text{наим}} = -1,3$$

Нахождение наибольшего значения:

• Так как функция убывает, наибольшего значения на этом интервале не существует, так как она стремится к $-\infty$, когда $x \to 0$.
• Таким образом:

  $$y_{\text{наиб}} = -\infty$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -1,3; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$$

Итоговый ответ:

а) $y_{\text{наим}} = \sqrt{2}; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$

б) $y_{\text{наим}} = -3; \, y_{\text{наиб}} = -1.$

в) $y_{\text{наим}} = 1,2; \, y_{\text{наиб}} = 2,5.$

г) $y_{\text{наим}} = -1,3; \, y_{\text{наиб}} — \text{нет}.$