ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $tg \frac{\pi}{12} = tg \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{tg \frac{\pi}{4} — tg \frac{\pi}{6}}{1 + tg \frac{\pi}{4} \cdot tg \frac{\pi}{6}} = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 — \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} =$
$= \frac{(3 — \sqrt{3})^2}{(3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 — 6\sqrt{3} + 3}{9 — 3} = \frac{12 — 6\sqrt{3}}{6} = 2 — \sqrt{3};$

Ответ: $2 — \sqrt{3}$.

б) $tg\, 105^\circ = tg(45^\circ + 60^\circ) = \frac{tg\, 45^\circ + tg\, 60^\circ}{1 — tg\, 45^\circ \cdot tg\, 60^\circ} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 — 1 \cdot \sqrt{3}} =$
$= \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 — 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 — \sqrt{3};$

Ответ: $-2 — \sqrt{3}$.

в) $tg\, \frac{5\pi}{12} = tg \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{tg\, \frac{\pi}{4} + tg\, \frac{\pi}{6}}{1 — tg\, \frac{\pi}{4} \cdot tg\, \frac{\pi}{6}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 — 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 — \sqrt{3}} =$
$= \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 — 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3};$

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

г) $tg\, 165^\circ = tg(45^\circ + 120^\circ) = \frac{tg\, 45^\circ + tg\, 120^\circ}{1 — tg\, 45^\circ \cdot tg\, 120^\circ} = \frac{1 + (-\sqrt{3})}{1 — 1 \cdot (-\sqrt{3})} =$
$= \frac{1 — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 — \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 — \sqrt{3})} = \frac{1 — 2\sqrt{3} + 3}{1 — 3} = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} — 2;$

Ответ: $\sqrt{3} — 2$.

а) $\tg\left( \frac{\pi}{12} \right)$

$$\tg\left( \frac{\pi}{12} \right) = \tg\left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} \right)$$

Формула тангенса разности:

$$\tg(a — b) = \frac{\tg a — \tg b}{1 + \tg a \cdot \tg b}$$

Применим формулу:

$$\tg\left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) — \tg\left(\frac{\pi}{6}\right)}{1 + \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tg\left(\frac{\pi}{6}\right)}$$

Подставим значения:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1,\quad \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Тогда:

$$\frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю (3):

• Числитель: $1 — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 — \sqrt{3}}{3}$
• Знаменатель: $1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Получаем:

$$\frac{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 — \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$$

Рационализируем знаменатель: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $3 — \sqrt{3}$:

$$\frac{3 — \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 — \sqrt{3}}{3 — \sqrt{3}} = \frac{(3 — \sqrt{3})^2}{(3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3})}$$

Считаем:

• Числитель: $(3 — \sqrt{3})^2 = 9 — 6\sqrt{3} + 3 = 12 — 6\sqrt{3}$
• Знаменатель: $(3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3}) = 9 — 3 = 6$

$$\frac{12 — 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 — \sqrt{3})}{6} = 2 — \sqrt{3}$$

Ответ: $2-\sqrt{3}$

б) $\tg(105^\circ)$

Преобразуем угол:

$$105^\circ = 45^\circ + 60^\circ$$

Используем формулу суммы:

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Подставим:

$$\tg(105^\circ) = \frac{\tg(45^\circ) + \tg(60^\circ)}{1 — \tg(45^\circ) \cdot \tg(60^\circ)}$$

Значения:

• $\tg(45^\circ) = 1$
• $\tg(60^\circ) = \sqrt{3}$

$$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 — 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 — \sqrt{3}}$$

Рационализируем знаменатель:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $1 + \sqrt{3}$:

$$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 — \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}$$

Считаем:

• Числитель: $1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$
• Знаменатель: $1 — 3 = -2$

$$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 — \sqrt{3}$$

Ответ: $-2-\sqrt{3}$

в) $\tg\left( \frac{5\pi}{12} \right)$

Представим как сумму:

$$\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg\left(a + b\right) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Подставим:

$$\tg\left( \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tg\left(\frac{\pi}{6}\right)}{1 — \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tg\left(\frac{\pi}{6}\right)}$$ $$= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 — 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Приведём к общему знаменателю:

• Числитель: $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$
• Знаменатель: $\frac{3 — \sqrt{3}}{3}$

$$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 — \sqrt{3}}$$

Рационализируем знаменатель:

$$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 — \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 — 3} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}$$ $$= \frac{6(2 + \sqrt{3})}{6} = 2 + \sqrt{3}$$

Ответ: $2+\sqrt{3}$

г) $\tg(165^\circ)$

Преобразуем:

$$165^\circ = 45^\circ + 120^\circ$$

Используем формулу суммы:

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Подставим:

$$\tg(165^\circ) = \frac{\tg(45^\circ) + \tg(120^\circ)}{1 — \tg(45^\circ) \cdot \tg(120^\circ)}$$

Из таблицы:

• $\tg(45^\circ) = 1$
• $\tg(120^\circ) = -\sqrt{3}$

$$= \frac{1 + (-\sqrt{3})}{1 — 1 \cdot (-\sqrt{3})} = \frac{1 — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$$

Рационализируем:

$$\frac{1 — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 — \sqrt{3}}{1 — \sqrt{3}} = \frac{(1 — \sqrt{3})^2}{1 — 3} = \frac{1 — 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{-2}$$ $$= -2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} — 2$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \sqrt{3}-2}}$