ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\cos a = \frac{3}{5}$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$;

Точка $a$ принадлежит первой четверти:

$$\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{4}{5} : \frac{3}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3};$$

а)

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tg a + \tg \frac{\pi}{3}}{1 — \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 — 4\sqrt{3}};$$ $$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})};$$ $$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36}{9 — 48} = -\frac{25\sqrt{3} + 48}{39};$$

Ответ: $-\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}$.

б)

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tg a — \tg \frac{\pi}{3}}{1 + \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{3} — \sqrt{3}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{3 + 4\sqrt{3}};$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 — 3\sqrt{3})(3 — 4\sqrt{3})}{(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})};$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{12 — 16\sqrt{3} — 9\sqrt{3} + 36}{9 — 48} = \frac{25\sqrt{3} — 48}{39};$$

Ответ: $\frac{25\sqrt{3} — 48}{39}$.

Известно:

$$\cos a = \frac{3}{5}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}$$

Значит:

• Угол $a$ находится в первой четверти.
• В первой четверти все тригонометрические функции положительны:

  $$\sin a > 0, \quad \cos a > 0, \quad \tg a > 0$$

Шаг 1. Найдём $\sin a$ по основному тригонометрическому тождеству:

Формула:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \sin^2 a = 1 — \cos^2 a$$

Подставим $\cos a = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos^2 a = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

$$\sin^2 a = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25 — 9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

(Берём плюс, так как $a$ в первой четверти)

Шаг 2. Найдём $\tg a$:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{4}{5} \div \frac{3}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$$

а) Найти $\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$

Шаг 3. Формула тангенса суммы:

$$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{3}$

Известно:

• $\tg a = \frac{4}{3}$
• $\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

Шаг 4. Подставим в формулу:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 — 4\sqrt{3}}$$

Шаг 5. Рационализируем знаменатель (умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение):

Сопряжённое к $3 — 4\sqrt{3}$ — это $3 + 4\sqrt{3}$

Умножаем:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}$$

Шаг 6. Раскроем скобки в числителе:

$$(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$ $$= 12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36 = (12 + 36) + (16\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) = 48 + 25\sqrt{3}$$

Шаг 7. Раскроем скобки в знаменателе (формула разности квадратов):

$$(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3}) = 3^2 — (4\sqrt{3})^2 = 9 — 48 = -39$$

Шаг 8. Подставим обратно:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}$$

Ответ а):

$$\boxed{-\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}}$$

б) Найти $\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right)$

Шаг 9. Формула тангенса разности:

$$\tg(x — y) = \frac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Аналогично:

• $\tg a = \frac{4}{3}$
• $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Шаг 10. Подставим в формулу:

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{3} — \sqrt{3}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{3 + 4\sqrt{3}}$$

Шаг 11. Рационализируем знаменатель:

Сопряжённое к $3 + 4\sqrt{3}$ — это $3 — 4\sqrt{3}$

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 — 3\sqrt{3})(3 — 4\sqrt{3})}{(3 + 4\sqrt{3})(3 — 4\sqrt{3})}$$

Шаг 12. Раскроем числитель:

$$(4 — 3\sqrt{3})(3 — 4\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 — 4 \cdot 4\sqrt{3} — 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$ $$= 12 — 16\sqrt{3} — 9\sqrt{3} + 36 = (12 + 36) — (16\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) = 48 — 25\sqrt{3}$$

Шаг 13. Знаменатель — как в пункте а):

$$(3 + 4\sqrt{3})(3 — 4\sqrt{3}) = 9 — 48 = -39$$

Шаг 14. Подставим:

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{48 — 25\sqrt{3}}{-39} = \frac{25\sqrt{3} — 48}{39}$$

Ответ б):

$$\boxed{\frac{25\sqrt{3} — 48}{39}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{-\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}}$

б) $\boxed{\frac{25\sqrt{3} — 48}{39}}$