ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что прямые у = 3х + 1 и у = 6 — 2х пересекаются под углом 45°.

Даны две прямые:
$y = 3x + 1$,
$y = 6 — 2x$

Вторая прямая наклонена влево:
$-2 < 0$;

Углы между прямыми и осью абсцисс:

$$\tg\,a = 3 \Rightarrow a = \arctg\,3;$$ $$\tg\,b = -2 \Rightarrow b = 180^\circ — \arctg(-2) = 180^\circ + \arctg\,2;$$

По теореме о сумме углов треугольника:

$$c = 180^\circ — (a + b);$$ $$c = 180^\circ — (\arctg\,3 + 180^\circ + \arctg\,2) = -(\arctg\,2 + \arctg\,3);$$

Найдём тангенс угла между прямыми:

$$\tg\,c = -\tg(\arctg\,2 + \arctg\,3) = -\dfrac{\tg(\arctg\,2) + \tg(\arctg\,3)}{1 — \tg(\arctg\,2) \cdot \tg(\arctg\,3)};$$ $$\tg\,c = -\dfrac{2 + 3}{1 — 2 \cdot 3} = -\dfrac{5}{1 — 6} = -\dfrac{5}{-5} = \dfrac{5}{5} = 1;$$

Значение искомого угла:

$$c = \arctg\,1 = \dfrac{\pi}{4} = \left(\dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) = 45^\circ;$$

Что и требовалось доказать.

Даны прямые:

$$y = 3x + 1 \quad \text{и} \quad y = 6 — 2x$$

Шаг 1. Определим угловые коэффициенты прямых

Общий вид уравнения прямой:

$$y = kx + b$$

где $k$ — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$.

Для первой прямой:

$$k_1 = 3 \Rightarrow \tg a = 3$$

Для второй прямой:

$$y = 6 — 2x = -2x + 6 \Rightarrow k_2 = -2 \Rightarrow \tg b = -2$$

Шаг 2. Определим направление наклона каждой прямой

• $k_1 = 3 > 0$ — первая прямая наклонена вправо.
• $k_2 = -2 < 0$ — вторая прямая наклонена влево.

Шаг 3. Углы между прямыми и осью абсцисс

Первая прямая:

$$\tg a = 3 \Rightarrow a = \arctg\,3$$

Так как прямая наклонена вправо, $a \in (0^\circ, 90^\circ)$

Вторая прямая:

$$\tg b = -2 \Rightarrow b = \arctg(-2)$$

Но угол наклона прямой — это угол между прямой и положительным направлением оси $x$, измеренный от оси $x$ до прямой против часовой стрелки.

Так как наклон влево ($k < 0$), угол $b$ — во второй четверти, то есть:

$$b = 180^\circ + \arctg\,2$$

Пояснение: $\arctg(-2)$ — это угол в четвёртой четверти (отрицательный угол), но наклон измеряется от оси вправо против часовой. Поэтому:

$$b = 180^\circ — \arctg(-2) = 180^\circ + \arctg\,2$$

Шаг 4. Найдём угол между двумя прямыми

Пусть угол между прямыми — $c$. Тогда по геометрии:

$$c = 180^\circ — (a + b)$$

Подставим значения:

$$c = 180^\circ — \left(\arctg\,3 + 180^\circ + \arctg\,2\right)$$ $$c = -(\arctg\,2 + \arctg\,3)$$

Знак минус здесь означает, что нам нужно найти абсолютное значение — ведь угол между прямыми всегда положительный, и мы далее вычислим тангенс угла.

Шаг 5. Используем формулу тангенса суммы углов

Вычислим:

$$\tg\,c = -\tg(\arctg\,2 + \arctg\,3)$$

Формула:

$$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть:

• $\tg x = 2$
• $\tg y = 3$

Тогда:

$$\tg\,c = -\frac{2 + 3}{1 — 2 \cdot 3} = -\frac{5}{1 — 6} = -\frac{5}{-5} = \frac{5}{5} = 1$$

Шаг 6. Найдём сам угол по значению тангенса

$$\tg\,c = 1 \Rightarrow c = \arctg\,1 = \frac{\pi}{4}$$

Переведём в градусы:

$$c = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{c = 45^\circ}$$

Что и требовалось доказать.