ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен угол между диагональю АС и отрезком ВК?

Точка $K$ — середина стороны $CD$ квадрата $ABCD$;
Найти угол между диагональю $AC$ и отрезком $BK$.

Отобразим условие задачи:

$ABCD$ — квадрат, следовательно:
$AB=BC=CD=AD$;
$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D={90}^{\circ }$;

Рассмотрим прямоугольный $\mathrm{△}ADC$:

$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }ACD=\frac{AD}{DC}=1;$$$$\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4};$$

Рассмотрим прямоугольный $\mathrm{△}BCK$:

$$CK=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC;$$$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }BKC=\frac{BC}{CK}=2;$$$$\mathrm{\angle }BKC=\mathrm{arctg}2;$$

В $\mathrm{△}CEK$, по теореме о сумме углов треугольника:

$$\mathrm{\angle }CEK={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }ACD-\mathrm{\angle }BKC={180}^{\circ }-\frac{\pi }{4}-\mathrm{arctg}2;$$$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }CEK=\mathrm{tg}({180}^{\circ }-\frac{\pi }{4}-\mathrm{arctg}2)=-\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}2);$$$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }CEK=-\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}2)}{1-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\cdot \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}2)}=-\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=-\frac{3}{-1}=3;$$$$\mathrm{\angle }CEK=\mathrm{arctg}3;$$

Ответ: $\mathrm{arctg}3$.

Точка $K$ — середина стороны $CD$ квадрата $ABCD$.
Найти угол между диагональю $AC$ и отрезком $BK$.

Шаг 1. Построение квадрата и обозначений

Квадрат $ABCD$:

• Вершины по часовой стрелке: $A,B,C,D$
• Стороны равны: $AB=BC=CD=DA$
• Все углы прямые: ${90}^{\circ }$

Отрезки:

• Диагональ $AC$
• Точка $K$ — середина $CD$
• Отрезок $BK$

Цель: найти угол между $AC$ и $BK$

Шаг 2. Расположение точек на координатной плоскости (для наглядности)

Пусть квадрат $ABCD$ с вершинами:

• $A(0,0)$
• $B(1,0)$
• $C(1,1)$
• $D(0,1)$

Тогда:

• Диагональ $AC$: из $A(0,0)$ в $C(1,1)$
• Сторона $CD$: из $C(1,1)$ в $D(0,1)$
• Точка $K$ — середина $CD$, значит:$$K=(\frac{1+0}{2},\frac{1+1}{2})=(\frac{1}{2},1)$$
• Точка $B=(1,0)$
• Вектор $\overrightarrow{BK}=K-B=(\frac{1}{2}-1,1-0)=(-\frac{1}{2},1)$
• Вектор $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-0,1-0)=(1,1)$

Шаг 3. Тангенс угла наклона диагонали $AC$

В прямоугольном треугольнике $\mathrm{△}ADC$:

• Катеты: $AD=1$, $DC=1$
• Тогда:$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }ACD=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{1}=1\Rightarrow \mathrm{\angle }ACD=\mathrm{arctg}(1)=\frac{\pi }{4}$$

Значит, диагональ $AC$ наклонена под углом $\frac{\pi }{4}$ к оси $x$

Шаг 4. Тангенс угла наклона отрезка $BK$

Рассмотрим треугольник $\mathrm{△}BCK$, прямоугольный:

• $CK=\frac{1}{2}$ (так как $K$ — середина)
• $BC=1$
• Тангенс угла при вершине $C$, то есть:$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }BKC=\frac{BC}{CK}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\Rightarrow \mathrm{\angle }BKC=\mathrm{arctg}(2)$$

Шаг 5. Найдём угол между прямыми $AC$ и $BK$

Найдём угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BK}$

Мы уже выяснили:

• Угол наклона $AC$: $\mathrm{arctg}(1)=\frac{\pi }{4}$
• Угол наклона $BK$: $\pi -\mathrm{arctg}(2)$ (так как вектор $BK$ идёт «влево-вверх»)

Следовательно, угол между ними:

$$\theta =\mid \mathrm{arctg}(2)+\frac{\pi }{4}\mid$$

Теперь найдём его тангенс:

Шаг 6. Формула тангенса суммы углов

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta }$$

Пусть:

• $\alpha =\frac{\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{tg}\alpha =1$
• $\beta =\mathrm{arctg}(2)\Rightarrow \mathrm{tg}\beta =2$

Тогда:

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=\frac{3}{-1}=-3$$

Теперь учтём, что:

$$\mathrm{tg}(\theta )=-\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(2)+\frac{\pi }{4})=-(-3)=3$$

Шаг 7. Угол между $BK$ и $AC$

$$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }=3\Rightarrow \mathrm{\angle }=\mathrm{arctg}(3)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{arctg}3}}$$