ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\frac{tg\,25^\circ + tg\,20^\circ}{1 — tg\,25^\circ \cdot tg\,20^\circ} = tg(25^\circ + 20^\circ) = tg\,45^\circ = 1;$
Ответ: 1.

б) $\frac{1 — tg\,70^\circ \cdot tg\,65^\circ}{tg\,70^\circ + tg\,65^\circ} = \frac{1}{tg(70^\circ + 65^\circ)} = \frac{1}{tg\,135^\circ} = ctg\,135^\circ = -1;$
Ответ: $-1$.

в) $\frac{tg\,9^\circ + tg\,51^\circ}{1 — tg\,9^\circ \cdot tg\,51^\circ} = tg(9^\circ + 51^\circ) = tg\,60^\circ = \sqrt{3};$
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $\frac{1 + tg\,54^\circ \cdot tg\,9^\circ}{tg\,54^\circ — tg\,9^\circ} = \frac{1}{tg(54^\circ — 9^\circ)} = \frac{1}{tg\,45^\circ} = ctg\,45^\circ = 1;$
Ответ: 1.

а)

$$\frac{\tg\,25^\circ + \tg\,20^\circ}{1 — \tg\,25^\circ \cdot \tg\,20^\circ}$$

Это — формула тангенса суммы углов:

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Применим:

$$\frac{\tg\,25^\circ + \tg\,20^\circ}{1 — \tg\,25^\circ \cdot \tg\,20^\circ} = \tg(25^\circ + 20^\circ) = \tg(45^\circ)$$ $$\tg(45^\circ) = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б)

$$\frac{1 — \tg\,70^\circ \cdot \tg\,65^\circ}{\tg\,70^\circ + \tg\,65^\circ}$$

Здесь выражение напоминает обратную формулу тангенса суммы:

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

А значит:

$$\frac{1 — \tg\,70^\circ \cdot \tg\,65^\circ}{\tg\,70^\circ + \tg\,65^\circ} = \frac{1}{\tg(70^\circ + 65^\circ)} = \frac{1}{\tg\,135^\circ}$$

Теперь:

• $\tg(135^\circ) = -\tg(45^\circ) = -1$
• Тогда $\frac{1}{\tg\,135^\circ} = \frac{1}{-1} = -1$

Или, альтернативно, через котангенс:

$$\frac{1}{\tg\,135^\circ} = \ctg\,135^\circ = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

в)

$$\frac{\tg\,9^\circ + \tg\,51^\circ}{1 — \tg\,9^\circ \cdot \tg\,51^\circ}$$

Снова узнаём формулу суммы тангенсов:

$$\frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b} = \tg(a + b)$$ $$a = 9^\circ,\quad b = 51^\circ,\quad a + b = 60^\circ$$ $$\tg(9^\circ + 51^\circ) = \tg(60^\circ)$$

А:

$$\tg(60^\circ) = \sqrt{3}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{3}}$

г)

$$\frac{1 + \tg\,54^\circ \cdot \tg\,9^\circ}{\tg\,54^\circ — \tg\,9^\circ}$$

Эта конструкция соответствует обратной формуле тангенса разности углов:

$$\tg(a — b) = \frac{\tg a — \tg b}{1 + \tg a \cdot \tg b} \quad \Rightarrow \quad \frac{1 + \tg a \cdot \tg b}{\tg a — \tg b} = \frac{1}{\tg(a — b)}$$

Применим:

• $a = 54^\circ,\ b = 9^\circ \Rightarrow a — b = 45^\circ$

$$\frac{1 + \tg\,54^\circ \cdot \tg\,9^\circ}{\tg\,54^\circ — \tg\,9^\circ} = \frac{1}{\tg(54^\circ — 9^\circ)} = \frac{1}{\tg\,45^\circ}$$

А:

$$\tg(45^\circ) = 1 \Rightarrow \frac{1}{1} = 1$$

Или в виде котангенса:

$$\frac{1}{\tg\,45^\circ} = \ctg\,45^\circ = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$