ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\tg\,a = \frac{2}{3}$;

б) $\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\tg\,a = \frac{4}{5}$;

в) $\tg\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$, если $\tg\,a = \frac{4}{3}$;

г) $\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$, если $\ctg\,a = 1{,}6$

Вычислить значение:

а) $\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\tg\,a = \frac{2}{3}$;

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} — \tg\,a}{1 + \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\,a} = \frac{1 — \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3 — 2}{3}}{\frac{3 + 2}{3}} = \frac{1}{5};$$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\tg\,a = \frac{4}{5}$;

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tg\,a + \tg\frac{\pi}{3}}{1 — \tg\,a \cdot \tg\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}};$$ $$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}{(5 — 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})};$$ $$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 60}{25 — 48} = -\frac{41\sqrt{3} + 80}{23};$$

Ответ: $-\frac{41\sqrt{3} + 80}{23}$.

в) $\tg\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$, если $\tg\,a = \frac{4}{3}$;

$$\tg\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\ctg\,a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3};$$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

г) $\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$, если $\ctg\,a = 1{,}6$;

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg\,a — \tg\frac{\pi}{4}}{1 + \tg\,a \cdot \tg\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\ctg\,a} — 1}{1 + \frac{1}{\ctg\,a} \cdot 1} = \frac{1 — \ctg\,a}{\ctg\,a + 1};$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 — 1{,}6}{1{,}6 + 1} = -\frac{0{,}6}{2{,}6} = -\frac{6}{26} = -\frac{3}{13};$$

Ответ: $-\frac{3}{13}$.

а) $\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\tg a = \frac{2}{3}$

Шаг 1: Формула тангенса разности углов

$$\tg(x — y) = \frac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Подставим:

• $x = \frac{\pi}{4}$
• $y = a$
• $\tg a = \frac{2}{3}$
• $\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{1 — \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

• Числитель:

$$1 — \frac{2}{3} = \frac{3}{3} — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

• Знаменатель:

$$1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$ $$\tg\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{5}}$

б) $\tg\left(a + \frac{\pi}{3} \right)$, если $\tg a = \frac{4}{5}$

Шаг 1: Формула суммы углов

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Подставим:

• $\tg a = \frac{4}{5}$
• $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Рационализация знаменателя

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5 + 4\sqrt{3}$:

$$\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}} \cdot \frac{5 + 4\sqrt{3}}{5 + 4\sqrt{3}} = \frac{(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}{(5 — 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Числитель:

$$(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3}) =$$

Пользуемся распределительным законом:

$$= 4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$

Считаем:

$$= 20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 60 = 80 + 41\sqrt{3}$$

Знаменатель (формула разности квадратов):

$$(5 — 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3}) = 5^2 — (4\sqrt{3})^2 = 25 — 48 = -23$$

Шаг 4: Записываем результат

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23} = -\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{41\sqrt{3} + 80}{23}}$

в) $\tg\left( \frac{\pi}{2} + a \right)$, если $\tg a = \frac{4}{3}$

Шаг 1: Связь тангенса с котангенсом

Формула:

$$\tg\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\ctg x$$

Тогда:

$$\tg\left( \frac{\pi}{2} + a \right) = -\ctg a$$

Шаг 2: Вычислим котангенс

$$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$ $$-\ctg a = -\frac{3}{4}$$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$

г) $\tg\left( a — \frac{\pi}{4} \right)$, если $\ctg a = 1{,}6$

Шаг 1: Выразим тангенс через котангенс

$$\tg a = \frac{1}{\ctg a} = \frac{1}{1{,}6} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a — \tg\frac{\pi}{4}}{1 + \tg a \cdot \tg\frac{\pi}{4}}$$ $$\tg\frac{\pi}{4} = 1$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{5}{8} — 1}{1 + \frac{5}{8} \cdot 1} = \frac{-\frac{3}{8}}{1 + \frac{5}{8}} = \frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}} = -\frac{3}{13}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{3}{13}}$