ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $tg\,a = \frac{2}{5}$ и $tg\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3$, найти:

Значение тангенса:
$tg\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3;$
$-ctg\,\beta = -3;$
$ctg\,\beta = 3;$
$tg\,\beta = \frac{1}{3};$

а) $tg(a + \beta) = \frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{6 + 5}{15}}{1 — \frac{2}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{13};$

Ответ: $\frac{11}{13}$.

б) $tg(a — \beta) = \frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta} = \frac{\frac{2}{5} — \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{6 — 5}{15}}{1 + \frac{2}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} = \frac{1}{17};$

Ответ: $\frac{1}{17}$.

Известно:

• $tg\,a = \frac{2}{5}$,
• $tg\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3$

Найти:

а) $tg(a + \beta)$
б) $tg(a — \beta)$

ШАГ 1. Найдём $tg\,\beta$

Дано:

$$tg\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3$$

Используем тождество:

$$tg\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -ctg\,x$$

Применим к нашему случаю:

$$tg\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -ctg\,\beta$$

Тогда:

$$-ctg\,\beta = -3 \Rightarrow ctg\,\beta = 3$$

Теперь найдём $tg\,\beta$, используя связь между тангенсом и котангенсом:

$$tg\,\beta = \frac{1}{ctg\,\beta} = \frac{1}{3}$$

ШАГ 2. Найдём $tg(a + \beta)$

Известно:

• $tg\,a = \frac{2}{5}$
• $tg\,\beta = \frac{1}{3}$

Формула для суммы тангенсов:

$$tg(a + \beta) = \frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta}$$

Подставим значения:

$$tg(a + \beta) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}$$

Считаем числитель:

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{5 \cdot 3} = \frac{6 + 5}{15} = \frac{11}{15}$$

Считаем знаменатель:

$$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$ $$1 — \frac{2}{15} = \frac{15}{15} — \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$$

Подставим обратно:

$$tg(a + \beta) = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{13} = \frac{11}{13}$$

Ответ а):

$$tg(a + \beta) = \frac{11}{13}$$

ШАГ 3. Найдём $tg(a — \beta)$

Формула разности тангенсов:

$$tg(a — \beta) = \frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta}$$

Подставим значения:

$$tg(a — \beta) = \frac{\frac{2}{5} — \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}$$

Числитель:

$$\frac{2}{5} — \frac{1}{3} = \frac{6 — 5}{15} = \frac{1}{15}$$

Знаменатель:

$$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$ $$1 + \frac{2}{15} = \frac{15 + 2}{15} = \frac{17}{15}$$

Подставим обратно:

$$tg(a — \beta) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{1}{17}$$

Ответ б):

$$tg(a — \beta) = \frac{1}{17}$$

Итог:

а) $tg(a + \beta) = \frac{11}{13}$

б) $tg(a — \beta) = \frac{1}{17}$