ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{1-tg2a}{1+tg2a}=tg({45}^{\circ }-2a);$$

б)

$$\frac{tga+tg\beta }{tg(a+\beta )}+\frac{tga-tg\beta }{tg(a-\beta )}=2$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{1 — tg\, 2a}{1 + tg\, 2a} = tg(45^\circ — 2a);$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$tg(45^\circ — 2a) = \frac{tg\, 45^\circ — tg\, 2a}{1 + tg\, 45^\circ \cdot tg\, 2a} = \frac{1 — tg\, 2a}{1 + 1 \cdot tg\, 2a} = \frac{1 — tg\, 2a}{1 + tg\, 2a};$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{tga+tg\beta }{tg(a+\beta )}+\frac{tga-tg\beta }{tg(a-\beta )}=2;$$

$$\frac{tg\, a + tg\, \beta}{tg(a + \beta)} + \frac{tg\, a — tg\, \beta}{tg(a — \beta)} = 2;$$ $$(tga+tg\beta ):\frac{tga+tg\beta }{1-tga\cdot tg\beta }+(tga-tg\beta ):\frac{tga-tg\beta }{1+tga\cdot tg\beta }=2;$$

$$(tg\, a + tg\, \beta) : \frac{tg\, a + tg\, \beta}{1 — tg\, a \cdot tg\, \beta} + (tg\, a — tg\, \beta) : \frac{tg\, a — tg\, \beta}{1 + tg\, a \cdot tg\, \beta} = 2;$$ $$(1-tga\cdot tg\beta )+(1+tga\cdot tg\beta )=2;$$

$$(1 — tg\, a \cdot tg\, \beta) + (1 + tg\, a \cdot tg\, \beta) = 2;$$ $$2 = 2;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{1 — tg\, 2a}{1 + tg\, 2a} = tg(45^\circ — 2a)$$

Шаг 1. Начинаем с правой части уравнения

$$tg(45^\circ — 2a)$$

Применим формулу разности тангенсов:

$$tg(x — y) = \frac{tg\,x — tg\,y}{1 + tg\,x \cdot tg\,y}$$

Здесь:

• $x = 45^\circ$
• $y = 2a$

Шаг 2. Подставим в формулу:

$$tg(45^\circ — 2a) = \frac{tg\,45^\circ — tg\,2a}{1 + tg\,45^\circ \cdot tg\,2a}$$

Шаг 3. Используем значение $tg\,45^\circ = 1$:

$$= \frac{1 — tg\,2a}{1 + 1 \cdot tg\,2a} = \frac{1 — tg\,2a}{1 + tg\,2a}$$

Шаг 4. Сравниваем с левой частью:

$$\frac{1 — tg\,2a}{1 + tg\,2a}$$

Правая часть преобразована к виду левой.

Вывод:

Тождество доказано.

б)

$$\frac{tg\,a + tg\,\beta}{tg(a + \beta)} + \frac{tg\,a — tg\,\beta}{tg(a — \beta)} = 2$$

Шаг 1. Начнём с левой части выражения:

$$\frac{tg\,a + tg\,\beta}{tg(a + \beta)} + \frac{tg\,a — tg\,\beta}{tg(a — \beta)}$$

Шаг 2. Вспоминаем формулы суммы и разности тангенсов:

• Сумма:

  $$tg(a + \beta) = \frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta}$$

• Разность:

  $$tg(a — \beta) = \frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta}$$

Шаг 3. Подставим эти выражения в знаменатели:

$$\frac{tg\,a + tg\,\beta}{\frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta}} + \frac{tg\,a — tg\,\beta}{\frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta}}$$

Шаг 4. Упростим каждую дробь по правилу: $\frac{x}{\frac{x}{y}} = y$

Первая дробь:

$$\frac{tg\,a + tg\,\beta}{\frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta}} = 1 — tg\,a \cdot tg\,\beta$$

Вторая дробь:

$$\frac{tg\,a — tg\,\beta}{\frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta}} = 1 + tg\,a \cdot tg\,\beta$$

Шаг 5. Складываем полученные выражения:

$$(1 — tg\,a \cdot tg\,\beta) + (1 + tg\,a \cdot tg\,\beta)$$

Шаг 6. Считаем:

$$1 — tg\,a \cdot tg\,\beta + 1 + tg\,a \cdot tg\,\beta = 2$$

Вывод:

Левая часть равна 2, правая часть тоже равна 2.
Тождество доказано.