ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin 2t}{\cos t} — \sin t = \frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos t} — \sin t = 2 \sin t — \sin t = \sin t;$$

Ответ: $\sin t$.

б)

$$\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t} = \frac{2 \sin 3t \cdot \cos 3t}{\cos^2 3t} = \frac{2 \sin 3t}{\cos 3t} = 2 \operatorname{tg} 3t;$$

Ответ: $2 \operatorname{tg} 3t$.

в)

$$\cos^2 t — \cos 2t = \cos^2 t — (\cos^2 t — \sin^2 t) = \sin^2 t;$$

Ответ: $\sin^2 t$.

г)

$$\frac{\cos 2t}{\cos t — \sin t} — \sin t = \frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos t — \sin t} — \sin t =$$ $$= \frac{(\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t — \sin t} — \sin t = (\cos t + \sin t) — \sin t = \cos t;$$

Ответ: $\cos t$.

а)

Упростить:

$$\frac{\sin 2t}{\cos t} — \sin t$$

Шаг 1. Вспомним формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2. Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos t} — \sin t$$

Шаг 3. Сократим $\cos t$ в числителе и знаменателе:

$$2 \sin t — \sin t$$

Шаг 4. Выполним вычитание:

$$\sin t$$

Ответ а:

$$\boxed{\sin t}$$

б)

Упростить:

$$\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}$$

Шаг 1. Представим $\sin 6t$ через $\sin 3t$:

Формула двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$ $$\sin 6t = \sin(2 \cdot 3t) = 2 \sin 3t \cdot \cos 3t$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\frac{2 \sin 3t \cdot \cos 3t}{\cos^2 3t}$$

Шаг 3. Сократим $\cos 3t$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2 \sin 3t}{\cos 3t}$$

Шаг 4. Запишем как тангенс:

$$2 \cdot \tg 3t$$

Ответ б:

$$\boxed{2 \operatorname{tg} 3t}$$

в)

Упростить:

$$\cos^2 t — \cos 2t$$

Шаг 1. Вспомним формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2. Подставим формулу в выражение:

$$\cos^2 t — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$\cos^2 t — \cos^2 t + \sin^2 t$$

Шаг 4. Сократим одинаковые слагаемые:

$$\sin^2 t$$

Ответ в:

$$\boxed{\sin^2 t}$$

г)

Упростить:

$$\frac{\cos 2t}{\cos t — \sin t} — \sin t$$

Шаг 1. Вспомним формулу:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2. Подставим её:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos t — \sin t} — \sin t$$

Шаг 3. В числителе узнаём формулу разности квадратов:

$$\cos^2 t — \sin^2 t = (\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t — \sin t} — \sin t$$

Шаг 5. Сократим $\cos t — \sin t$:

$$\cos t + \sin t — \sin t$$

Шаг 6. Вычтем $\sin t$:

$$\cos t$$

Ответ г:

$$\boxed{\cos t}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\sin t}$
б) $\boxed{2 \operatorname{tg} 3t}$
в) $\boxed{\sin^2 t}$
г) $\boxed{{\displaystyle \cos t}}$