ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $$$\cos t=\frac{3}{4}$ и $0<t<\frac{\pi }{2}$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой четверти:
$0<\frac{t}{2}<\frac{\pi }{4}$;

$$\cos \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{4+3}{2\cdot 4}}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\sqrt{\frac{14}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4};$$$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{2\cdot 4}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4};$$$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}:\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{2}{14}}=\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7};$$$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=1:\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{7}}{7};\sqrt{7}$

б) $$$\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4}$ и $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}t}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5};$$$$\cos t=\mathrm{ctg}t\cdot \sin t=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{3}{5};$$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит второй четверти:
$\frac{\pi }{2}<\frac{t}{2}<\frac{3\pi }{4}$;

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-3}{2\cdot 5}}=-\sqrt{\frac{2}{10}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5};$$$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{5+3}{2\cdot 5}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5};$$$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}:(-\frac{\sqrt{5}}{5})=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{5}}=-2;$$$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{-2};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{2\sqrt{5}}{5};-2;-\frac{1}{2}$

Вычислить значение:

а)

$$\cos t=\frac{3}{4},0<t<\frac{\pi }{2}$$

То есть угол $t$ — в первой четверти, значит:

$$\cos t>0,\sin t>0,\mathrm{tg}t>0,\mathrm{ctg}t>0$$

Угол $\frac{t}{2}\in (0,\frac{\pi }{4})$ — тоже в первой четверти.

1. Найдём $\cos \frac{t}{2}$

Формула половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}(\text{берём “+” т.к. 1-я четверть})$$$$\cos t=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{1+\cos t}{2}=\frac{1+\frac{3}{4}}{2}=\frac{\frac{7}{4}}{2}=\frac{7}{8}\Rightarrow \cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\sqrt{\frac{14}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$$

2. Найдём $\sin \frac{t}{2}$

Формула:

$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}(\text{знак “+” — 1-я четверть})$$$$\frac{1-\cos t}{2}=\frac{1-\frac{3}{4}}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

3. Найдём $\mathrm{tg}\frac{t}{2}$

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{2}{14}}=\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

4. Найдём $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$$

Ответы:

• $\cos \frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}}$
• $\sin \frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}}$
• $\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{7}}}$
• $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle \sqrt{7}}}$

б)

$$\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4},\pi <t<\frac{3\pi }{2}$$

Значит $t$ — в третьей четверти, где:

• $\sin t<0$, $\cos t<0$
• $\mathrm{tg}t>0$, $\mathrm{ctg}t>0$

1. Найдём $\sin t$

Формула:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}\Rightarrow {\sin }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}t}$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4}\Rightarrow {\mathrm{ctg}}^{2}t=\frac{9}{16}$$$${\sin }^{2}t=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{1}{\frac{25}{16}}=\frac{16}{25}\Rightarrow \sin t=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$$

$$(\text{отрицательный знак — 3-я четверть})$$

2. Найдём $\cos t$

$$\cos t=\mathrm{ctg}t\cdot \sin t=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{12}{20}=-\frac{3}{5}$$

3. Угол $\frac{t}{2}\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$ — это вторая четверть

Значит:

• $\sin \frac{t}{2}>0$
• $\cos \frac{t}{2}<0$

4. Найдём $\cos \frac{t}{2}$

Формула:

$$\cos \frac{t}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}\text{(знак «–» — 2-я четверть)}$$$$\cos t=-\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{1+\cos t}{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{2}{5}÷2=\frac{1}{5}\Rightarrow \cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

5. Найдём $\sin \frac{t}{2}$

Формула:

$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}(\text{в 2-й четверти — положительно})$$$$1-\cos t=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5},\frac{8}{5}÷2=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

6. Найдём $\mathrm{tg}\frac{t}{2}$

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{5}}=-2$$

7. Найдём $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$

Ответы:

• $\cos \frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{5}}}$
• $\sin \frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}}$
• $\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle -2}}$
• $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\boxed{{\displaystyle -\frac{1}{2}}}$