ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

a) $$$\sin 2x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$;

Точка $2x$ принадлежит третьей четверти:
$\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$;

$$\cos 2x = -\sqrt{1 — \sin^2 2x} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$$

Точка $x$ принадлежит второй четверти:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 — 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}};$$ $$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{10} — \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{\sqrt{10}} : \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{10} = -3;$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3};$$

Ответ:$$$-\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; -3; -\frac{1}{3}$

б) $$$\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}$ и $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$;

Точка $2x$ принадлежит первой четверти:
$2\pi < 2x < \frac{5\pi}{2}$;

$$\cos 2x = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 2x}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Точка $x$ принадлежит третьей четверти:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 + 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\sin x = -\sqrt{\frac{1 — \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 — 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{1}{\sqrt{10}} : \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{1}{3};$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 1 : \frac{1}{3} = 3;$$

Ответ: $$$-\frac{3}{\sqrt{10}}; -\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{1}{3}; 3$

a)

$$\sin 2x = -\frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$$

1. Определим, в какой четверти находится угол $2x$

Удвоим интервал:

$$2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) \Rightarrow \text{третья четверть}$$

2. Найдём $\cos 2x$

Формула:

$$\cos 2x = \pm\sqrt{1 — \sin^2 2x}$$ $$\sin 2x = -\frac{3}{5} \Rightarrow \sin^2 2x = \frac{9}{25} \Rightarrow \cos 2x = -\sqrt{1 — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$

Знак минус, потому что $\cos 2x < 0$ в 3-й четверти.

3. Определим, в какой четверти находится угол $x$

По условию:

$$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \Rightarrow \text{вторая четверть}$$

4. Найдём $\cos x$

Формула:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} \quad \text{(в 2-й четверти косинус отрицателен)}$$ $$\cos 2x = -\frac{4}{5} \Rightarrow 1 + \cos 2x = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

5. Найдём $\sin x$

Формула:

$$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} \quad \text{(в 2-й четверти синус положителен)}$$ $$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{10} \Rightarrow \sin x = \sqrt{1 — \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

6. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{\sqrt{10}} \div \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -3$$

7. Найдём $\operatorname{ctg} x$

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$

Ответ:

• $\cos x = \boxed{-\frac{1}{\sqrt{10}}}$
• $\sin x = \boxed{\frac{3}{\sqrt{10}}}$
• $\operatorname{tg} x = \boxed{-3}$
• $\operatorname{ctg} x = \boxed{-\frac{1}{3}}$

б)

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}, \quad \pi < x < \frac{5\pi}{4}$$

1. Определим, где находится угол $2x$

Удвоим интервал:

$$2x \in (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \Rightarrow \text{первая четверть (периодичность: от \(2\pi\))}$$

2. Найдём $\cos 2x$

Формула:

$$\cos 2x = \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 2x}} \quad \text{(в 1-й четверти — положительный)}$$ $$\operatorname{tg}^2 2x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \Rightarrow \cos 2x = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

3. Определим, где находится угол $x$

По условию:

$$x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \Rightarrow \text{третья четверть} \Rightarrow \sin x < 0, \quad \cos x < 0$$

4. Найдём $\cos x$

Формула:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} \quad \text{(в 3-й четверти косинус отрицателен)}$$ $$\cos 2x = \frac{4}{5} \Rightarrow \cos x = -\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$

5. Найдём $\sin x$

Формула:

$$\sin x = -\sqrt{\frac{1 — \cos 2x}{2}} \quad \text{(в 3-й четверти синус отрицателен)}$$ $$1 — \cos 2x = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

6. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3}$$

7. Найдём $\operatorname{ctg} x$

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$

Ответ:

• $\cos x = \boxed{-\frac{3}{\sqrt{10}}}$
• $\sin x = \boxed{-\frac{1}{\sqrt{10}}}$
• $\operatorname{tg} x = \boxed{\frac{1}{3}}$
• $\mathrm{ctg}x=\boxed{{\displaystyle 3}}$