ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = tg \frac{t}{2};$$

Ответ: $tg \frac{t}{2}$

б)

$$\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}} = \cos \frac{t}{2} — \sin \frac{t}{2};$$

Ответ: $\cos \frac{t}{2} — \sin \frac{t}{2}$

в)

$$\frac{\sin 4t}{\cos 2t} = \frac{2 \sin 2t \cdot \cos 2t}{\cos 2t} = 2 \sin 2t;$$

Ответ: $2 \sin 2t$

г)

$$\frac{\cos 2t — \sin 2t}{\cos 4t} = \frac{\cos 2t — \sin 2t}{\cos^2 2t — \sin^2 2t} = \frac{1}{\cos 2t + \sin 2t};$$

Ответ: $\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$

а)

$$\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$$

Шаг 1: Вспоминаем формулу двойного угла для синуса

$$\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$$

Шаг 2: Подставляем в числитель

$$\frac{2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$$

Шаг 3: Сокращаем на 2

$$= \frac{\sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}$$

Шаг 4: Делим дробь

$$= \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \tg \frac{t}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\tg \frac{t}{2}}$$

б)

$$\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$$

Шаг 1: Вспоминаем формулу двойного угла для косинуса

$$\cos t = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}$$

Шаг 2: Подставим в числитель

$$\frac{\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$$

Шаг 3: Узнаём формулу разности квадратов

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \Rightarrow \text{в числителе: } (\cos \frac{t}{2} — \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе

$$= \cos \frac{t}{2} — \sin \frac{t}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\cos \frac{t}{2} — \sin \frac{t}{2}}$$

в)

$$\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$$

Шаг 1: Вспоминаем формулу двойного угла

$$\sin 4t = 2 \sin 2t \cdot \cos 2t$$

Шаг 2: Подставим в числитель

$$\frac{2 \sin 2t \cdot \cos 2t}{\cos 2t}$$

Шаг 3: Сокращаем $\cos 2t$

$$= 2 \sin 2t$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin 2t}$$

г)

$$\frac{\cos 2t — \sin 2t}{\cos 4t}$$

Шаг 1: Вспоминаем формулу двойного угла для косинуса

$$\cos 4t = \cos^2 2t — \sin^2 2t$$

Шаг 2: Подставим в знаменатель

$$\frac{\cos 2t — \sin 2t}{\cos^2 2t — \sin^2 2t}$$

Шаг 3: В числителе — разность, в знаменателе — разность квадратов

$$\cos^2 2t — \sin^2 2t = (\cos 2t — \sin 2t)(\cos 2t + \sin 2t)$$

Шаг 4: Сокращаем числитель и множитель в знаменателе

$$= \frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}}$$