ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{2}{tgt+ctgt}\frac{\mathrm{}}{\frac{}{}}$$

б)

$$\frac{2}{tgt-ctgt}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{2}{tg\,t + ctg\,t} = \frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t + \cos^2 t} = \sin 2t;$$

Ответ: $\sin 2t$

б)

$$\frac{2}{tg\,t — ctg\,t} = \frac{2}{tg\,t — \frac{1}{tg\,t}} = \frac{2\,tg\,t}{tg^2 t — 1} = -\frac{2\,tg\,t}{1 — tg^2 t} = -tg\,2t;$$

Ответ: $-tg\,2t$

а)

$$\frac{2}{\tg t + \ctg t}$$

Шаг 1: Запишем определения тангенса и котангенса через синус и косинус

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 3: Приводим выражение в знаменателе к общему знаменателю

Общий знаменатель: $\cos t \cdot \sin t$

$$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\cos t \cdot \sin t}$$

Шаг 4: Вспомним основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow \frac{1}{\cos t \cdot \sin t}$$

Шаг 5: Подставляем обратно в исходное выражение

$$\frac{2}{\frac{1}{\cos t \cdot \sin t}} = 2 \cdot \cos t \cdot \sin t$$

Шаг 6: Применим формулу двойного угла

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Ответ:

$$\boxed{\sin 2t}$$

б)

$$\frac{2}{\tg t — \ctg t}$$

Шаг 1: Запишем выражение через тангенс и котангенс

$$= \frac{2}{\tg t — \frac{1}{\tg t}}$$

Шаг 2: Преобразуем выражение в знаменателе

Общий знаменатель: $\tg t$

$$\frac{\tg^2 t — 1}{\tg t}$$

Шаг 3: Перепишем исходную дробь, используя полученное

$$= \frac{2}{\frac{\tg^2 t — 1}{\tg t}} = \frac{2 \cdot \tg t}{\tg^2 t — 1}$$

Шаг 4: Подготовимся к использованию формулы

Формула:

$$\tg 2t = \frac{2 \tg t}{1 — \tg^2 t} \Rightarrow \text{обратная: } \frac{2 \tg t}{\tg^2 t — 1} = -\tg 2t$$

Шаг 5: Подставим

$$= -\tg 2t$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\mathrm{tg}2t}}$$