ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$${\cos }^{4}t-{\sin }^{4}t=\cos 2t$$

б)

$${\cos }^{4}t+{\sin }^{4}t=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2t$$

а)

$$\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t) = \cos 2t \cdot 1 = \cos 2t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos^4 t + \sin^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t;$$

Тождество доказано.

а)

$$\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t$$

Шаг 1: Узнаём структуру левой части

Это разность четвёртых степеней:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 — (\sin^2 t)^2$$

Это — разность квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

Шаг 3: Используем тождества

• $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ — основное тригонометрическое тождество
• $\cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$ — формула косинуса двойного угла

Шаг 4: Подставим значения

$$(\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t) = \cos 2t \cdot 1 = \cos 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t}$$

б)

$$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$$

Шаг 1: Узнаём структуру

Запишем левую часть с помощью формулы:

$$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 — 2a^2b^2$$

Пусть $a = \cos^2 t$, $b = \sin^2 t$, тогда:

$$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 — 2 \cos^2 t \cdot \sin^2 t$$

Шаг 2: Подставим основное тождество

$$(\cos^2 t + \sin^2 t)^2 = 1^2 = 1$$

Шаг 3: Преобразуем оставшееся выражение

$$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 — 2 \cos^2 t \cdot \sin^2 t$$

Шаг 4: Связь с формулой синуса двойного угла

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t \Rightarrow \sin^2 2t = 4 \sin^2 t \cos^2 t \Rightarrow \sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$$

Шаг 5: Подставим в выражение

$$1 — 2 \cos^2 t \sin^2 t = 1 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{{\displaystyle {\cos }^{4}t+{\sin }^{4}t=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2t}}$$