ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\sin^2 2t = \dfrac{1 — \cos 4t}{2};$$

б)

$$2 \sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos t = 1;$$

в)

$$2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} — 4t\right);$$

г)

$$2{\cos }^{2}t-\cos 2t=1$$

Доказать тождество:

а)

$$\sin^2 2t = \dfrac{1 — \cos 4t}{2};$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$\dfrac{1 — \cos 4t}{2} = \dfrac{(\cos^2 2t + \sin^2 2t) — (\cos^2 2t — \sin^2 2t)}{2} = \sin^2 2t;$$

Тождество доказано.

б)

$$2 \sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos t = 1;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$2 \sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos t = 2 \cdot \dfrac{1 — \cos t}{2} + \cos t = (1 — \cos t) + \cos t = 1;$$

Тождество доказано.

в)

$$2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} — 4t\right);$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$1 + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} — 4t\right) = 1 — \cos 4t = 2 \cdot \dfrac{1 — \cos 4t}{2} = 2 \sin^2 \dfrac{4t}{2} = 2 \sin^2 2t;$$

Тождество доказано.

г)

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 1;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 2 \cos^2 t — (\cos^2 t — \sin^2 t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1;$$

Тождество доказано.

а)

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Шаг 1: Вспомним нужную формулу понижения степени

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Применим к $x = 2t$:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}}$$

б)

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$$

Шаг 1: Вспомним формулу двойного угла для косинуса

$$\cos t = 1 — 2 \sin^2 \frac{t}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 \frac{t}{2} = 1 — \cos t$$

Шаг 2: Подставим это в левую часть

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = (1 — \cos t) + \cos t = 1$$

Тождество доказано:

$$\boxed{2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1}$$

в)

$$2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right)$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Заметим, что:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right) = -\cos 4t \quad \text{(так как } \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x \text{)}$$

Шаг 2: Подставим

$$1 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right) = 1 — \cos 4t$$

Шаг 3: Используем формулу понижения степени

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 2t = 1 — \cos 4t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right)}$$

г)

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 1$$

Шаг 1: Вспомним формулу двойного угла:

$$\cos 2t = 2 \cos^2 t — 1 \Rightarrow 2 \cos^2 t = \cos 2t + 1$$

Шаг 2: Выразим левую часть

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = (\cos 2t + 1) — \cos 2t = 1$$

Тождество доказано:

$$\boxed{{\displaystyle 2{\cos }^{2}t-\cos 2t=1}}$$