ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\sin 2x − 2 \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x − 2 \cos x = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\sin x − 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x − 1 = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б)

$$\sin 2x − \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x − \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos x − 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x − 1 = 0;$$ $$2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi n;\quad \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в)

$$2 \sin x = \sin 2x;$$ $$2 \sin x − \sin 2x = 0;$$ $$2 \sin x − 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot (1 − \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 − \cos x = 0;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi n.$$

г)

$$\sin 2x + \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \sin x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x + 1 = 0;$$ $$2 \sin x = -1;$$ $$\sin x = -\frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{2}+\pi n;(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n\mathrm{.}$$

Решить уравнение:

а) $\sin 2x — 2\cos x = 0$

Шаг 1: Используем формулу двойного угла

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим:

$$2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель $2 \cos x$

$$2 \cos x (\sin x — 1) = 0$$

Шаг 3: Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю

Первое уравнение:

$$\cos x = 0$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\sin x — 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Обе серии решений входят в первую:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \subset \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$

б) $\sin 2x — \sin x = 0$

Шаг 1: Раскрываем $\sin 2x$

$$2 \sin x \cos x — \sin x = 0$$

Шаг 2: Вынесем $\sin x$ за скобки

$$\sin x (2 \cos x — 1) = 0$$

Шаг 3: Приравниваем каждый множитель к нулю

Первое уравнение:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n;\quad \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

в) $2\sin x = \sin 2x$

Шаг 1: Переносим всё в одну сторону

$$2 \sin x — \sin 2x = 0$$

Шаг 2: Раскрываем $\sin 2x$

$$2 \sin x — 2 \sin x \cos x = 0$$

Шаг 3: Вынесем $2 \sin x$

$$2 \sin x (1 — \cos x) = 0$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$1 — \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$x = 2\pi n$ — это частный случай $x = \pi n$, значит можно оставить одно общее множество решений:

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}$$

г) $\sin 2x + \cos x = 0$

Шаг 1: Раскрываем $\sin 2x$

$$2 \sin x \cos x + \cos x = 0$$

Шаг 2: Вынесем $\cos x$

$$\cos x (2 \sin x + 1) = 0$$

Шаг 3: Приравниваем к нулю каждый множитель

Первое уравнение:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Здесь использована формула общего решения для $\sin x = a$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n$$

Для $-\frac{1}{2}$, берём $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, а знак компенсируется в формуле.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n;\quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$