ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 2x = 1$;

б) $\cos^2 4x = \frac{1}{2}$;

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$;

г) ${\cos }^2\frac{x}{4}=\frac{1}{4}$

Решить уравнение:

а) $\sin^2 2x = 1$;
$\frac{1 — \cos 4x}{2} = 1$;
$1 — \cos 4x = 2$;
$\cos 4x = -1$;
$4x = \pi + 2\pi n$;
$x = \frac{1}{4} \cdot (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\cos^2 4x = \frac{1}{2}$;
$\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{1}{2}$;
$1 + \cos 8x = 1$;
$\cos 8x = 0$;
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$;
Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$.

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$;
$\frac{1 — \cos x}{2} = \frac{3}{4}$;
$1 — \cos x = \frac{3}{2}$;
$\cos x = -\frac{1}{2}$;
$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4}$;
$\frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1}{4}$;
$1 + \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$;
$\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$;
$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = 2 \cdot \left(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$.

а)

Уравнение:

$$\sin^2 2x = 1$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени

$$\sin^2 A = \frac{1 — \cos 2A}{2} \Rightarrow \sin^2 2x = \frac{1 — \cos 4x}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos 4x}{2} = 1$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$1 — \cos 4x = 2 \Rightarrow \cos 4x = -1$$

Шаг 3: Найдём x

$$\cos \theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi + 2\pi n \Rightarrow 4x = \pi + 2\pi n$$

Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Уравнение:

$$\cos^2 4x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Применим формулу понижения степени

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2} \Rightarrow \cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$1 + \cos 8x = 1 \Rightarrow \cos 8x = 0$$

Шаг 3: Найдём x

$$\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 8:

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8},\quad n \in \mathbb{Z}}$$

в)

Уравнение:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos x}{2} = \frac{3}{4}$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$1 — \cos x = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём x

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решения:

$$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n$$

Поскольку:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

г)

Уравнение:

$$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4}$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$1 + \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём x

$$\cos \theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n\Rightarrow$$

$$\cos \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$$$\boxed{x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n}$$