ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${}^{}$$\sin^2\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$;

б) ${}^{}$$\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$;

в) ${}^{}$$\sin^2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}$;

г) ${}^{}$$\cos^2\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4}$

Решить уравнение:

а) ${}^{}$$\sin^2\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$;

$\frac{1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{3}{4}$;

$1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}$;

$\cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$;

$4x — \frac{\pi}{3} = \pm\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$;

$4x — \frac{\pi}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Первое значение:

$4x = \frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе значение:

$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{4} \cdot (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

б) ${}^{}$$\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$;

$\frac{1 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = 1$;

$1 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2$;

$\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$;

$2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi n$;

$2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) ${}^{}$$\sin^2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}$;

$\frac{1 — \cos(2x + \pi)}{2} = \frac{1}{2}$;

$1 — \cos(\pi + 2x) = 1$;

$\cos 2x = 0$;

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

г) ${}^{}$$\cos^2\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4}$;

$\frac{1 + \cos\left(6x — \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{3}{4}$;

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 6x\right) = \frac{3}{2}$;

$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 6x\right) = \frac{1}{2}$;

$\sin 6x = \frac{1}{2}$;

$6x = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = \frac{1}{6} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$.

а)

Уравнение:

$$\sin^2\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени

$$\sin^2 A = \frac{1 — \cos 2A}{2} \Rightarrow \sin^2\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right)}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{3}{4}$$

Шаг 2: Решаем уравнение

Умножим обе части на 2:

$$1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos\left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём значения угла

$$\cos \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \Rightarrow \theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Положим:

$$4x — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Находим x

Первое значение:

$$4x — \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{-\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе значение:

$$4x — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};\quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Уравнение:

$$\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$

Шаг 1: Формула понижения степени

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2} \Rightarrow \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = 1 \Rightarrow 1 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \Rightarrow \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$$

Шаг 2: Найдём x

$$\cos \theta = 1 \Rightarrow \theta = 2\pi n \Rightarrow 2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi n \Rightarrow 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{3} + \pi n}$$

в)

Уравнение:

$$\sin^2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Формула понижения степени

$$\sin^2 A = \frac{1 — \cos 2A}{2} \Rightarrow \sin^2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1 — \cos(2x + \pi)}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos(2x + \pi)}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 — \cos(2x + \pi) = 1 \Rightarrow \cos(2x + \pi) = 0$$

Шаг 2: Используем идентичность

$$\cos(2x + \pi) = -\cos 2x \Rightarrow -\cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 2x = 0$$

Шаг 3: Найдём x

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

г)

Уравнение:

$$\cos^2\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4}$$

Шаг 1: Применим формулу понижения степени

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2} \Rightarrow \cos^2\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos\left(6x — \frac{\pi}{2}\right)}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos\left(6x — \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 + \cos\left(6x — \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos\left(6x — \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем аргумент

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 6x\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 6x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём x

$$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$6x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{6} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{36}+\frac{\pi n}{6}}}$$$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}}$$