ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) — 2 \cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ =$
$= 1 — \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 — \sin 150^\circ = 1 — \sin(180^\circ — 30^\circ) = 1 — \sin 30^\circ =$
$= 1 — \frac{1}{2} = 1 — 0,5 = 0,5$;
Ответ: 0,5.

в) $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = (\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \cos 15^\circ \cdot \sin 15^\circ =$
$= 1 + \sin(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$;
Ответ: 1,5.

а)

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$$

Шаг 1. Узнаём формулу, которую можно применить.
Есть формула двойного угла для синуса:

$$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

Шаг 2. Применяем формулу с $\alpha = 15^\circ$:

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ$$

Шаг 3. Находим значение $\sin 30^\circ$:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

б)

$$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2$$

Шаг 1. Вспоминаем формулу квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

Шаг 2. Применим её:

$$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ — 2\cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$$

Шаг 3. Группируем:

$$= (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) — 2\cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

Шаг 4. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Значит:

$$= 1 — 2\cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

Шаг 5. Применяем формулу синуса двойного угла в обратную сторону:

$$2\cos x \sin x = \sin(2x) \Rightarrow 2\cos 75^\circ \sin 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin 150^\circ$$

Шаг 6. Подставим:

$$1 — \sin 150^\circ$$

Шаг 7. Вычислим $\sin 150^\circ$:

$$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ — 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Шаг 8. Вычитаем:

$$1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}5}$$

в)

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$$

Шаг 1. Узнаём формулу:
Это формула косинуса двойного угла:

$$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha — \sin^2\alpha$$

Шаг 2. Применим её при $\alpha = 15^\circ$:

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 3. Вычислим $\cos 30^\circ$:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

г)

$$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$$

Шаг 1. Вспоминаем формулу квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Шаг 2. Применим её:

$$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ + \sin^2 15^\circ$$

Шаг 3. Группируем:

$$= (\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ$$

Шаг 4. Используем основное тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ $$= 1 + 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ$$

Шаг 5. Используем формулу двойного угла в обратную сторону:

$$2\sin x \cos x = \sin(2x) \Rightarrow 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ$$

Шаг 6. Подставим:

$$= 1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Ответ:

$$\boxed{1{,}5}$$