ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2\pi ]$:

а) $$$\cos 2x + 3 \sin x = 1$;

б) $$$\sin^2 x = -\cos 2x$;

в) $$$\cos 2x = \cos^2 x$;

г) $$$\cos 2x = 2 \sin^2 x$

Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $$$\cos 2x + 3 \sin x = 1$;
$(\cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = \sin^2 x + \cos^2 x$;
$2 \sin^2 x — 3 \sin x = 0$;
$\sin x \cdot (2 \sin x — 3) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \sin x — 3 = 0$;
$2 \sin x = 3$;
$\sin x = \frac{3}{2}$;
$x \in \emptyset$;

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

б) $$$\sin^2 x = -\cos 2x$;
$\sin^2 x + \cos 2x = 0$;
$\sin^2 x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$;
$\cos^2 x = 0$;
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

в) $$$\cos 2x = \cos^2 x$;
$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos^2 x$;
$\sin^2 x = 0$;
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

г) $$$\cos 2x = 2 \sin^2 x$;
$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin^2 x$;
$\cos^2 x + \sin^2 x — \sin^2 x = 3 \sin^2 x$;
$1 — \sin^2 x = 3 \sin^2 x$;
$4 \sin^2 x = 1$;
$\sin^2 x = \frac{1}{4}$;
$\sin x = \pm \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

а)

$$\cos 2x + 3\sin x = 1$$

Шаг 1: Раскрываем $\cos 2x$ по формуле двойного угла

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим:

$$(\cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = 1$$

Но! Используем также:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Тогда:

$$(1 — \sin^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = 1 \Rightarrow 1 — 2\sin^2 x + 3 \sin x = 1$$

Шаг 2: Переносим всё в одну сторону

$$1 — 2\sin^2 x + 3 \sin x = 1 \Rightarrow -2\sin^2 x + 3 \sin x = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x — 3\sin x = 0$$

Шаг 3: Разложим на множители

$$\sin x(2\sin x — 3) = 0$$

Решаем каждое:

1) $\sin x = 0$

$$x = \pi n \Rightarrow \text{на отрезке } [0; 2\pi]:\ x = 0,\ \pi,\ 2\pi$$

2) $2\sin x — 3 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{3}{2}$

Невозможно: $\sin x \in [-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$

Ответ (только корни на $[0; 2\pi]$):

$$\boxed{0;\ \pi;\ 2\pi}$$

б)

$$\sin^2 x = -\cos 2x$$

Шаг 1: Переносим всё в одну сторону

$$\sin^2 x + \cos 2x = 0$$ $$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0 \Rightarrow \cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

На отрезке $[0; 2\pi]$:

• $x_1 = \frac{\pi}{2}$
• $x_2 = \frac{3\pi}{2}$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}}$$

в)

$$\cos 2x = \cos^2 x$$

Шаг 1: Раскроем $\cos 2x$

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos^2 x — \sin^2 x = \cos^2 x$$

Вычтем $\cos^2 x$ из обеих частей:

$$-\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$$

Шаг 2: Найдём корни $\sin x = 0$

$$x = \pi n \Rightarrow x = 0,\ \pi,\ 2\pi \text{ на } [0; 2\pi]$$

Ответ:

$$\boxed{0;\ \pi;\ 2\pi}$$

г)

$$\cos 2x = 2\sin^2 x$$

Шаг 1: Раскроем $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2\sin^2 x$$ $$(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 2\sin^2 x \Rightarrow 1 — 2\sin^2 x = 2\sin^2 x \Rightarrow 1 = 4\sin^2 x \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$$

Шаг 2: Найдём $\sin x = \pm \frac{1}{2}$

$$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$ $$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$

(Это стандартные значения из окружности.)

Ответ (все корни на $[0; 2\pi]$):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6}}}$$$$\boxed{\frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6};\ \frac{7\pi}{6};\ \frac{11\pi}{6}}$$