ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = tg\, t;$$ $$\frac{(1 — \cos 2t) + \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = tg\, t;$$ $$\frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = tg\, t;$$ $$\frac{2 \sin t \cdot (\sin t + \cos t)}{2 \cos t \cdot (\cos t + \sin t)} = tg\, t;$$ $$\frac{\sin t}{\cos t} = tg\, t;$$ $$tg\, t = tg\, t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1 + \cos 2t — \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{(1 + \cos 2t) — \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{2 \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{2 \cos t \cdot (\cos t — \sin t)}{2 \cos t \cdot (\cos t + \sin t)} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\cos t \cdot \sin \frac{\pi}{4} — \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{4}}{\cos t \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{4}} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right)} = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg t$$

Шаг 1: Формулы приведения

Используем следующие тригонометрические тождества:

• $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t = 1 — 2\sin^2 t = 2\cos^2 t — 1$
• $\sin 2t = 2\sin t \cdot \cos t$
• $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
• $\tg t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$

Шаг 2: Преобразуем числитель

$$1 — \cos 2t + \sin 2t$$

Подставим:

• $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$
• $\sin 2t = 2\sin t \cos t$

Но лучше использовать:

$$1 — \cos 2t = 2\sin^2 t,\quad \sin 2t = 2\sin t \cos t$$

Тогда:

$$\text{Числитель} = 2\sin^2 t + 2\sin t \cos t$$

Шаг 3: Преобразуем знаменатель

$$1 + \sin 2t + \cos 2t$$

Аналогично:

$$1 + 2\sin t \cos t + (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Но можно группировать так:

$$(1 + \cos 2t) + \sin 2t = 2\cos^2 t + 2\sin t \cos t$$

Шаг 4: Подставим в дробь

$$\frac{2\sin^2 t + 2\sin t \cos t}{2\cos^2 t + 2\sin t \cos t}$$

Вынесем общий множитель $2$ из числителя и знаменателя:

$$= \frac{2(\sin^2 t + \sin t \cos t)}{2(\cos^2 t + \sin t \cos t)} = \frac{\sin^2 t + \sin t \cos t}{\cos^2 t + \sin t \cos t}$$

Шаг 5: Вынесем множители

В числителе:

$$\sin^2 t + \sin t \cos t = \sin t (\sin t + \cos t)$$

В знаменателе:

$$\cos^2 t + \sin t \cos t = \cos t (\cos t + \sin t)$$

Тогда:

$$\frac{\sin t (\sin t + \cos t)}{\cos t (\cos t + \sin t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t$$

Тождество доказано:

$$\tg t = \tg t$$

ОДЗ:

• $\cos t \ne 0$ — чтобы $\tg t$ и вся дробь были определены.

б)

$$\frac{1 + \cos 2t — \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

$$1 + \cos 2t — \sin 2t = (1 + \cos 2t) — \sin 2t$$

Аналогично предыдущему пункту:

• $1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$
• $\sin 2t = 2\sin t \cos t$

Тогда:

$$\text{Числитель} = 2\cos^2 t — 2\sin t \cos t$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

$$1 + \sin 2t + \cos 2t = (1 + \cos 2t) + \sin 2t = 2\cos^2 t + 2\sin t \cos t$$

Шаг 3: Подставим в дробь

$$\frac{2\cos^2 t — 2\sin t \cos t}{2\cos^2 t + 2\sin t \cos t}$$

Сократим на 2:

$$\frac{\cos^2 t — \sin t \cos t}{\cos^2 t + \sin t \cos t}$$

Вынесем общий множитель $\cos t$:

• Числитель: $\cos t(\cos t — \sin t)$
• Знаменатель: $\cos t(\cos t + \sin t)$

$$= \frac{\cos t (\cos t — \sin t)}{\cos t (\cos t + \sin t)} = \frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t}$$

Шаг 4: Преобразуем правую часть

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right)}$$

Применим формулы разности синуса и косинуса:

• $\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$
• $\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t — \sin t)$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos t + \sin \frac{\pi}{4} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t + \sin t)$$

Тогда:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t — \sin t)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t + \sin t)} = \frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t}$$

Тождество доказано:

$$\frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t} = \tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$$

ОДЗ:

• $\cos t \ne 0$ — из преобразований дроби.
• $\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \ne 0$ — определение $\tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$

Выводы:

Обе тождества доказаны с использованием:

• Формул двойных углов:
  $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$,
  $\sin 2t = 2\sin t \cos t$
• Формул приведения
• Свойств функций $\tg$, $\ctg$, и основных преобразований