ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;
$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2(1 — 2\sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2 — 4\sin^2 x + \sin^2 x$;
$y = 2 — 3\sin^2 x$;

Множество значений:
$-1 \leq \sin^2 x \leq 1$;
$-1 \leq -\sin^2 x \leq 0$;
$-3 \leq -3\sin^2 x \leq 0$;
$-1 \leq 2 — 3\sin^2 x \leq 2$;

Ответ: $-1; 2$.

б) $y = 2 \sin^2 3x — \cos 6x$;
$y = 2 \sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x)$;
$y = 2 \sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x) + \sin^2 3x$;
$y = 4 \sin^2 3x — 1$;

Множество значений:
$-1 \leq \sin 3x \leq 1$;
$0 \leq \sin^2 3x \leq 1$;
$0 \leq 4 \sin^2 3x \leq 4$;
$-1 \leq 4 \sin^2 3x — 1 \leq 3$;

Ответ: $-1; 3$.

а)

$$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$$

ШАГ 1: Преобразуем $\cos 2x$ через $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$

Формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Тогда:

$$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$$

ШАГ 2: Раскроем скобки и упростим

$$y = 2\cos^2 x — 2\sin^2 x + \sin^2 x = 2\cos^2 x — \sin^2 x$$

Теперь выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Подставим:

$$y = 2(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 2 — 2\sin^2 x — \sin^2 x = 2 — 3\sin^2 x$$

ШАГ 3: Найдем наименьшее и наибольшее значения $y = 2 — 3\sin^2 x$

Знаем, что:

$$0 \leq \sin^2 x \leq 1$$

Домножим на -3 (меняет знак неравенства):

$$-3 \leq -3\sin^2 x \leq 0$$

Прибавим 2 ко всем частям:

$$-1 \leq 2 — 3\sin^2 x \leq 2$$

Ответ:

$$\boxed{[-1;\ 2]}$$

б)

$$y = 2 \sin^2 3x — \cos 6x$$

ШАГ 1: Преобразуем $\cos 6x$ через $\sin^2 3x$ и $\cos^2 3x$

Формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos 6x = \cos^2 3x — \sin^2 3x$$

Подставим:

$$y = 2 \sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x)$$

ШАГ 2: Раскроем скобки:

$$y = 2\sin^2 3x — \cos^2 3x + \sin^2 3x = 3\sin^2 3x — \cos^2 3x$$

Теперь выразим $\cos^2 3x$ через $\sin^2 3x$:

$$\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x$$

Подставим:

$$y = 3\sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x) = 3\sin^2 3x — 1 + \sin^2 3x = 4\sin^2 3x — 1$$

ШАГ 3: Найдём границы изменения $y = 4 \sin^2 3x — 1$

Знаем:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 3x \leq 1$$

Домножим на 4:

$$0 \leq 4\sin^2 3x \leq 4$$

Вычтем 1:

$$-1 \leq 4\sin^2 3x — 1 \leq 3$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle [-1;3]}}$$