ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

$$f = \sqrt{1 — \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t};$$

а) Если $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2} \sin^2 t + \sqrt{2} \cos^2 t = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)$.

б) Если $t \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2} \sin^2 t + \sqrt{2} \cos^2 t = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \cos t — \sqrt{2} \sin t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right)$.

в) Если $t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2} \sin^2 t + \sqrt{2} \cos^2 t = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \sin t + \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$.

г) Если $t \in \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2} \sin^2 t + \sqrt{2} \cos^2 t = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = -\sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = -2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = -2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = -2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $-2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$.

Упростить выражение:

$$f = \sqrt{1 — \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$$

Разберём каждое из четырёх подзаданий (а, б, в, г) с пошаговыми пояснениями, используя тригонометрию, модули и формулы приведения.

а) Если $t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$

ШАГ 1: Используем тригонометрические тождества

Формулы:

$$1 — \cos 2t = 2\sin^2 t, \quad 1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$$

Подставим в исходное выражение:

$$f = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t|$$

ШАГ 2: Определим знаки в интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$

• $\sin t \geq 0$ (во 2-й четверти: от 1 до 0)
• $\cos t \leq 0$ (от 0 до -1)

Поэтому:

$$|\sin t| = \sin t, \quad |\cos t| = -\cos t$$

ШАГ 3: Подставим и упростим

$$f = \sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t$$

ШАГ 4: Вынесем общий множитель

$$f = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right)$$

ШАГ 5: Узнаем формулу синуса разности углов

Формула:

$$\sin(a — b) = \sin a \cos b — \cos a \sin b$$

Распознаём:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$f = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ а):

$$\boxed{f = 2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)}$$

б) Если $t \in \left[ \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right]$

ШАГ 1: Снова подставим формулы

$$f = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t|$$

ШАГ 2: Знаки на интервале $\left[ \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right]$:

Это 4-я четверть:

• $\sin t \leq 0$
• $\cos t \geq 0$

$$|\sin t| = -\sin t, \quad |\cos t| = \cos t$$

ШАГ 3: Подставим в выражение

$$f = \sqrt{2} \cos t — \sqrt{2} \sin t$$

ШАГ 4: Вынесем общий множитель

$$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t \right)$$

ШАГ 5: Используем формулу синуса разности

$$f = 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right) = 2 \sin\left( \frac{\pi}{4} — t \right)$$

Ответ б):

$$\boxed{f = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right)}$$

в) Если $t \in \left[0; \frac{\pi}{2} \right]$

ШАГ 1: Формулы остаются те же

$$f = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t|$$

ШАГ 2: Знаки на интервале $[0; \frac{\pi}{2}]$:

• $\sin t \geq 0$
• $\cos t \geq 0$

Значит:

$$|\sin t| = \sin t, \quad |\cos t| = \cos t$$

ШАГ 3: Подставим

$$f = \sqrt{2} \sin t + \sqrt{2} \cos t$$

ШАГ 4: Вынесем множитель

$$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right)$$

ШАГ 5: Используем формулу суммы синусов

$$f = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ в):

$$\boxed{f = 2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)}$$

г) Если $t \in \left[ \pi;\ \frac{3\pi}{2} \right]$

ШАГ 1: Всё то же:

$$f = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t|$$

ШАГ 2: Знаки в 3-й четверти:

• $\sin t \leq 0$
• $\cos t \leq 0$

$$\mathrm{\mid }\sin t\mathrm{\mid }=-\sin t,\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }=-\cos t$$

ШАГ 3: Подставим

$$f = -\sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t$$

ШАГ 4: Вынесем минус и множитель

$$f = -2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right)$$

ШАГ 5: Применим формулу суммы

$$f = -2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = -2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ г):

$$\boxed{{\displaystyle f=-2\sin (t+\frac{\pi }{4})}}$$