ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте числовое равенство:

а) $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$;

б) $\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$

Проверить числовое равенство:

а) $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=\frac{1}{2}\sin (2\cdot {18}^{\circ })\cdot \cos {36}^{\circ }=$$

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos 36^\circ = \\ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 36^\circ) = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$$

Ответ: верно.

б) $\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=\frac{4\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }}{4\cos {18}^{\circ }}=\frac{2\cdot \sin (2\cdot {18}^{\circ })\cdot \cos {36}^{\circ }}{4\cos {18}^{\circ }}=$$

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{2 \cdot \sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \\ = \frac{2 \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos(90^\circ — 72^\circ)} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \sin 72^\circ} = \frac{1}{4};$$

Ответ: верно.

а)

Проверить:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

ШАГ 1: Преобразуем выражение $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ$

Применим стандартную тригонометрическую формулу:

$$\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a$$

Подставим $a = 18^\circ$:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ = \frac{1}{2} \sin(36^\circ)$$

ШАГ 2: Подставим в исходное выражение

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \left(\frac{1}{2} \sin 36^\circ\right) \cdot \cos 36^\circ$$

ШАГ 3: Преобразуем $\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ$

Опять применим ту же формулу:

$$\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a \quad \text{при } a = 36^\circ \Rightarrow \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin(72^\circ)$$

ШАГ 4: Подставим снова

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 72^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

Вывод:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ \quad \Rightarrow \boxed{\text{верно}}$$

б)

Проверить:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$$

ШАГ 1: Введём вспомогательное выражение

Цель — использовать тождество из пункта (а), которое уже доказано:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{4 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ}$$

Это допустимо, так как мы домножаем и делим на одно и то же (≠ 0):

$$= \frac{4 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ}$$

ШАГ 2: В числителе — уже известное

Из пункта (а):

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

Значит:

$$\text{числитель} = 4 \cdot \frac{1}{4} \sin 72^\circ = \sin 72^\circ$$

ШАГ 3: Разберём знаменатель

$$\text{Знаменатель} = 4 \cos 18^\circ$$

Используем следующее тождество:

$$\cos(90^\circ — x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad \cos 18^\circ = \sin(72^\circ)$$

ШАГ 4: Подставим в дробь

$$\frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \sin 72^\circ} = \frac{1}{4}$$

Вывод:

$$\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=\frac{1}{4}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \text{верно}}}$$