ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\mathrm{}$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $$$\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{4} =$

$= \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

в) ${}^{}$$\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\frac{\sqrt{2}}{2}-{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2=\frac{\sqrt{2}}{2}-({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}+2\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8})=$

$<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">=</span>$$= \frac{\sqrt{2}}{2} — \left( 1 + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 — \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$;

Ответ: $-1$.

а)

$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$$

Шаг 1: Узнаём нужную формулу

Используем формулу двойного угла для синуса:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = \frac{\pi}{8}$

$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8} \right)$$ $$= \sin \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Значение синуса угла $\frac{\pi}{4}$

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

б)

$$\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$$

Шаг 1: Заметим, что часть выражения — это половина от формулы двойного угла:

$$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha) \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$$

Шаг 2: Преобразуем первое слагаемое:

$$\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 3: Подставим это обратно в выражение:

$$\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Подставим значение $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4}$$

Шаг 5: Приведём к общему знаменателю:

$$= \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2} + 1}{4}}$$

в)

$$\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8}$$

Шаг 1: Используем формулу двойного угла для косинуса:

$$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = \frac{\pi}{8}$:

$$\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Значение $\cos \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

г)

$$\frac{\sqrt{2}}{2} — \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2$$

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы по формуле:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$\left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2 = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} + 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 2: Применим основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} = 1$$

Шаг 3: Вспомним, что:

$$2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Подставим в выражение:

$$\left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2 = 1 + \sin \frac{\pi}{4}$$

Шаг 5: Теперь полное выражение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} — \left( 1 + \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6: Упростим:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow 0 — 1 = -1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1}}$$