ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x), если:

а) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $y = 2 \sin^2 3x — \cos 6x$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;
$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2(1 — 2\sin^2 x) + \sin^2 x$;
$y = 2 — 4\sin^2 x + \sin^2 x$;
$y = 2 — 3\sin^2 x$;

Множество значений:
$-1 \leq \sin^2 x \leq 1$;
$-1 \leq -\sin^2 x \leq 0$;
$-3 \leq -3\sin^2 x \leq 0$;
$-1 \leq 2 — 3\sin^2 x \leq 2$;

Ответ: $-1; 2$.

б) $y = 2 \sin^2 3x — \cos 6x$;
$y = 2 \sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x)$;
$y = 2 \sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x) + \sin^2 3x$;
$y = 4 \sin^2 3x — 1$;

Множество значений:
$-1 \leq \sin 3x \leq 1$;
$0 \leq \sin^2 3x \leq 1$;
$0 \leq 4 \sin^2 3x \leq 4$;
$-1 \leq 4 \sin^2 3x — 1 \leq 3$;

Ответ: $-1; 3$.

а)

$$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$$

ШАГ 1: Раскроем $\cos 2x$ через $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$

Из тригонометрии:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow 2 \cos 2x = 2(\cos^2 x — \sin^2 x)$$

ШАГ 2: Подставим в исходное выражение

$$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$$

ШАГ 3: Упростим

$$y = 2\cos^2 x — 2\sin^2 x + \sin^2 x = 2\cos^2 x — \sin^2 x$$

ШАГ 4: Выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$

Из основного тождества:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x \Rightarrow y = 2(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 2 — 2\sin^2 x — \sin^2 x = 2 — 3\sin^2 x$$

ШАГ 5: Проанализируем множество значений

Знаем:

$$0\le {\sin }^{2}x\le 1\Rightarrow \text{Домножим на }-3:-3\le -3{\sin }^{2}x\le 0\Rightarrow$$

$$0 \leq \sin^2 x \leq 1 \Rightarrow \text{Домножим на } -3: \quad -3 \leq -3 \sin^2 x \leq 0 \Rightarrow \text{Прибавим 2: } -1 \leq 2 — 3\sin^2 x \leq 2$$

Ответ а):

$$\boxed{[-1;\ 2]}$$

б)

$$y = 2 \sin^2 3x — \cos 6x$$

ШАГ 1: Раскроем $\cos 6x$ через $\cos^2 3x$ и $\sin^2 3x$

Формула:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a \Rightarrow \cos 6x = \cos^2 3x — \sin^2 3x$$

Подставим:

$$y = 2 \sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x)$$

ШАГ 2: Раскроем скобки

$$y = 2 \sin^2 3x — \cos^2 3x + \sin^2 3x = 3 \sin^2 3x — \cos^2 3x$$

ШАГ 3: Заменим $\cos^2 3x$ через $\sin^2 3x$

$${\cos }^{2}3x=1-{\sin }^{2}3x\Rightarrow y=3{\sin }^{2}3x-(1-{\sin }^{2}3x)=$$

$$\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x \Rightarrow y = 3 \sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x) = 3 \sin^2 3x — 1 + \sin^2 3x = 4 \sin^2 3x — 1$$

ШАГ 4: Найдём границы функции

Знаем:

$$-1\le \sin 3x\le 1\Rightarrow 0\le {\sin }^{2}3x\le 1\Rightarrow 0\le 4{\sin }^{2}3x\le 4\Rightarrow$$

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 3x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 4 \sin^2 3x \leq 4 \Rightarrow -1 \leq 4 \sin^2 3x — 1 \leq 3$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle [-1;3]}}$$