ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а)

$$4 \sin x + \sin 2x = 0, \quad x \in [0; 2\pi];$$ $$4 \sin x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot (2 + \cos x) = 0;$$

Первое значение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе значение:

$$2 — \cos x = 0;$$ $$\cos x = 2;$$ $$x \in \emptyset;$$

Ответ:

$$0; \pi; 2\pi.$$

б)

$$\cos^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, \quad x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right];$$ $$\frac{1 + \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} — \frac{1 — \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0;$$ $$2 \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) + \sqrt{3} = 0;$$ $$-2 \sin 6x + \sqrt{3} = 0;$$ $$2 \sin 6x = \sqrt{3};$$ $$\sin 6x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$6x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{6} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6};$$

Значения на искомом отрезке:

$$x(5) = -\frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{6} = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9};$$

Ответ:

$$\frac{7\pi}{9}.$$

а)

$$4 \sin x + \sin 2x = 0, \quad x \in [0; 2\pi]$$

Шаг 1. Преобразуем $\sin 2x$ по формуле двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим это в уравнение:

$$4 \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$$

Шаг 2. Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x \cdot (4 + 2 \cos x) = 0 \Rightarrow 2 \sin x \cdot (2 + \cos x) = 0$$

Шаг 3. Проанализируем произведение:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

Первый множитель:

$$\sin x = 0$$

Решаем:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подставим значения, попадающие в $[0; 2\pi]$:

• при $n = 0 \Rightarrow x = 0$
• при $n = 1 \Rightarrow x = \pi$
• при $n = 2 \Rightarrow x = 2\pi$

Второй множитель:

$$2 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -2$$

Но:

$$\cos x \in [-1; 1], \quad \text{а } -2 \notin [-1; 1] \Rightarrow \text{Решений нет}$$

Ответ (а):

$$\boxed{0; \pi; 2\pi}$$

б)

$$\cos^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, \quad x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$$

Шаг 1. Узнаём:

$$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \Rightarrow \cos^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$$

Уравнение становится:

$$\cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$

Шаг 2. Переносим:

$$\cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta \Rightarrow \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 6x$$

Заменим:

$$-\sin 6x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 6x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4. Решим уравнение $\sin 6x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Общее решение:

$$6x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n \Rightarrow \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$ $$6x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5. Выразим $x$:

$$x = \frac{1}{6} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n\right) \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}$$

Шаг 6. Найдём значения $x$ на промежутке $\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$:

Найдем $x(n)$ при разных $n$, пока результат не выйдет за границы:

При $n = 4$:

$$x(4)=\frac{\pi }{18}+\frac{4\pi }{6}=\frac{\pi }{18}+\frac{12\pi }{18}=\frac{13\pi }{18}\approx 2.27$$

$$x(4) = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} \approx 2.27 \quad (\text{больше } \pi) \Rightarrow \text{не подходит}$$

При $n = 3$:

$$x(3)=-\frac{\pi }{18}+\frac{3\pi }{6}=-\frac{\pi }{18}+\frac{9\pi }{18}=\frac{8\pi }{18}=\frac{4\pi }{9}\approx 1.396$$

$$x(3) = -\frac{\pi}{18} + \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{18} + \frac{9\pi}{18} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9} \approx 1.396 \quad (\text{меньше } \frac{3\pi}{4} \approx 2.36) \Rightarrow \text{не подходит}$$

При $n = 5$:

$$x(5) = -\frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{18} + \frac{15\pi}{18} = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9} \approx 2.443$$

Проверим:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 2.356, \quad \pi \approx 3.142 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{9} \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right] \quad \text{✅ подходит}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{7\pi }{9}}}$$