ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение $$2{\cos }^2\frac{x}{2}-\cos \frac{\pi }{9}=1$$

на отрезке $[-2\pi ;2\pi ]$? Найдите эти корни.

Найти корни уравнения на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$:

$$2\cos^2\frac{x}{2} — \cos\frac{\pi}{9} = 1;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 1 + \cos\frac{\pi}{9};$$ $$1 + \cos x = 1 + \cos\frac{\pi}{9};$$ $$\cos x = \cos\frac{\pi}{9};$$ $$x = \pm \arccos\left(\cos\frac{\pi}{9}\right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi n;$$

На заданном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{9} — 2\pi = -\frac{17\pi}{9};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{9} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{9};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{9} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{9};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{17\pi}{9};$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{9}; \pm \frac{17\pi}{9}.$$

Найти корни уравнения на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$

$$2\cos^2\frac{x}{2} — \cos\frac{\pi}{9} = 1$$

Шаг 1. Перенесём $-\cos\frac{\pi}{9}$ в правую часть:

$$2\cos^2\frac{x}{2} = 1 + \cos\frac{\pi}{9}$$

Шаг 2. Используем формулу:

$$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

Подставим:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 1 + \cos\frac{\pi}{9}$$

Сократим множители:

$$1 + \cos x = 1 + \cos\frac{\pi}{9}$$

Шаг 3. Вычтем 1 из обеих частей:

$$\cos x = \cos\frac{\pi}{9}$$

Шаг 4. Решаем уравнение $\cos x = \cos\frac{\pi}{9}$:

Общее решение:

$$x = \pm \arccos\left(\cos\frac{\pi}{9}\right) + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5. Подставим значения $n$, чтобы найти решения в $[-2\pi; 2\pi]$

Напомним:

$$2\pi = \frac{18\pi}{9} \Rightarrow [-2\pi; 2\pi] = \left[-\frac{18\pi}{9}; \frac{18\pi}{9}\right]$$

Подставим значения $n = -1, 0, 1$:

При $n = -1$:

• $x = \frac{\pi}{9} — 2\pi = \frac{\pi}{9} — \frac{18\pi}{9} = -\frac{17\pi}{9}$  входит
• $x = -\frac{\pi}{9} — 2\pi = -\frac{\pi}{9} — \frac{18\pi}{9} = -\frac{19\pi}{9}$  вне отрезка

При $n = 0$:

• $x = \frac{\pi}{9}$
• $x = -\frac{\pi}{9}$

При $n = 1$:

• $x = \frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{19\pi}{9}$  вне отрезка
• $x = -\frac{\pi}{9} + 2\pi = -\frac{\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{17\pi}{9}$  входит

Итог:

Допустимые значения:

• $x_1 = -\frac{17\pi}{9}$
• $x_2 = -\frac{\pi}{9}$
• $x_3 = \frac{\pi}{9}$
• $x_4 = \frac{17\pi}{9}$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pm \frac{\pi }{9};\pm \frac{17\pi }{9}}}$$