ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.47 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| < 4:

а) $4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=3$;
$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+(1-{\cos }^{2}2x)=3$;
$2-2\cos 2x+1-{\cos }^{2}2x=3$;
$2\cos 2x+{\cos }^{2}2x=0$;
$\cos 2x\cdot (2+\cos 2x)=0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x=0$;
$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;
$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi +2\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$2+\cos 2x=0$;
$\cos 2x=-2$;
$x\in \mathrm{\varnothing }$;

На указанном промежутке:
$x_1=\frac{\pi -2\pi \cdot 3}{4}=-\frac{5\pi }{4}$;
$x_2=\frac{\pi -2\pi \cdot 2}{4}=-\frac{3\pi }{4}$;
$x_3=\frac{\pi -2\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$;
$x_4=\frac{\pi +2\pi \cdot 0}{4}=\frac{\pi }{4}$;
$x_5=\frac{\pi +2\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$;
$x_6=\frac{\pi +2\pi \cdot 2}{4}=\frac{5\pi }{4}$;

Ответ: $\pm \frac{\pi }{4};\pm \frac{3\pi }{4};\pm \frac{5\pi }{4}$.

б) $4{\cos }^{2}2x+8{\cos }^{2}x=7$;
$4{\cos }^{2}2x+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=7$;
$4{\cos }^{2}2x+4+4\cos 2x=7$;
$4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x-3=0$;

Пусть $y=\cos 2x$, тогда:
$4y^2+4y-3=0$;
$D=4^2+4\cdot 4\cdot 3=16+48=64$, тогда:
$y_1=\frac{-4-8}{2\cdot 4}=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$;
$y_2=\frac{-4+8}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$;

Первое значение:
$\cos 2x=-\frac{3}{2}$;
$x\in \mathrm{\varnothing }$;

Второе значение:
$\cos 2x=\frac{1}{2}$;
$2x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$;
$x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n=\frac{\pi \pm 6\pi n}{6}$;

На указанном промежутке:
$x_1=\frac{-\pi -6\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$;
$x_2=\frac{\pi -6\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$;
$x_3=\frac{-\pi +6\pi \cdot 0}{6}=-\frac{\pi }{6}$;
$x_4=\frac{\pi +6\pi \cdot 0}{6}=\frac{\pi }{6}$;
$x_5=\frac{-\pi +6\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$;
$x_6=\frac{\pi +6\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$;

Ответ: $\pm \frac{\pi }{6};\pm \frac{5\pi }{6};\pm \frac{7\pi }{6}$.

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{}$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$

а) Уравнение:

$$4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=3$$

Шаг 1. Замена функций на выражения через косинус двойного угла.

• Используем формулу:

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$$${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+(1-{\cos }^{2}2x)=3$$

Шаг 2. Упрощение выражения

$$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=2(1-\cos 2x)=2-2\cos 2x$$

Теперь уравнение:

$$2-2\cos 2x+1-{\cos }^{2}2x=3$$

Сложим подобные:

$$(2+1)+(-2\cos 2x)+(-{\cos }^{2}2x)=3\Rightarrow 3-2\cos 2x-{\cos }^{2}2x=3$$

Шаг 3. Переносим всё в правую часть и меняем знак:

$$-2\cos 2x-{\cos }^{2}2x=0\Rightarrow 2\cos 2x+{\cos }^{2}2x=0$$

Шаг 4. Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$$\cos 2x(2+\cos 2x)=0$$

Шаг 5. Решаем уравнение:

Первый множитель:

$$\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Второй множитель:

$$2+\cos 2x=0\Rightarrow \cos 2x=-2$$

Это невозможно, так как:

$$-1\le \cos \theta \le 1\Rightarrow \cos 2x=-2\mathrm{\notin }[-1,1]\Rightarrow \text{Нет решений}$$

Шаг 6. Найдём все такие $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$, при которых $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$

Найдём значения $n$, при которых это условие выполняется.

Найдём приближённо значения:

$$\pi \approx 3.14\Rightarrow \frac{\pi }{4}\approx 0.785,\frac{\pi }{2}\approx 1.57$$

Посчитаем, начиная с $n=-3$ до $n=2$:

• $n=-3$: $x=\frac{\pi }{4}-\frac{3\pi }{2}=\frac{-5\pi }{4}\approx -3.93$
• $n=-2$: $x=\frac{-3\pi }{4}\approx -2.36$
• $n=-1$: $x=\frac{-\pi }{4}\approx -0.785$
• $n=0$: $x=\frac{\pi }{4}\approx 0.785$
• $n=1$: $x=\frac{3\pi }{4}\approx 2.36$
• $n=2$: $x=\frac{5\pi }{4}\approx 3.93$
• $n=3$: $x=\frac{7\pi }{4}\approx 5.5$  (не подходит: $x>4$)

Ответ к а):

$$x=\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{4},\pm \frac{5\pi }{4}$$

б) Уравнение:

$$4{\cos }^{2}2x+8{\cos }^{2}x=7$$

Шаг 1. Выразим ${\cos }^{2}x$ через $\cos 2x$

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Подставим:

$$4{\cos }^{2}2x+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=7$$

Шаг 2. Упростим выражение:

$$4{\cos }^{2}2x+4(1+\cos 2x)=7\Rightarrow 4{\cos }^{2}2x+4+4\cos 2x=7$$

Переносим всё в одну часть:

$$4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x-3=0$$

Шаг 3. Обозначим:

$$y=\cos 2x,\text{ тогда уравнение:}\Rightarrow 4y^2+4y-3=0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2+4\cdot 4\cdot 3=16+48=64$$$$y_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}=\frac{-4\pm 8}{8}$$$$y_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$$

$$\text{(не подходит, т.к. выходит за диапазон значений косинуса)}$$$$y_2=\frac{-4+8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

Шаг 5. Решим $\cos 2x=\frac{1}{2}$

$$2x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Шаг 6. Найдём все $x$, удовлетворяющие $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$

$$\frac{\pi }{6}\approx 0.52,\pi \approx 3.14$$

Посчитаем:

• $n=-1$:
  • $x=-\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{7\pi }{6}\approx -3.66$
  • $x=\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{5\pi }{6}\approx -2.62$
• $n=0$:
  • $x=-\frac{\pi }{6}\approx -0.52$
  • $x=\frac{\pi }{6}\approx 0.52$
• $n=1$:
  • $x=-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}\approx 2.62$
  • $x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}\approx 3.66$
• $n=2$:
  • $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}\approx 6.8$

Ответ к б):

$$x=\pm \frac{\pi }{6},\pm \frac{5\pi }{6},\pm \frac{7\pi }{6}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4};\pm \frac{3\pi }{4};\pm \frac{5\pi }{4}}}$

б) $\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6};\pm \frac{5\pi }{6};\pm \frac{7\pi }{6}}}$