ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.50 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\cos \frac{1}{x^2 — \pi^2} \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cdot \cos x;$$ $$\cos \frac{1}{x^2 — \pi^2} \cdot \sin 2x = 4 \sin 2x;$$ $$\sin 2x \cdot \left( \cos \frac{1}{x^2 — \pi^2} — 4 \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos \frac{1}{x^2 — \pi^2} — 4 = 0;$$ $$\cos \frac{1}{x^2 — \pi^2} = 4;$$ $$x \in \varnothing;$$

Область определения:

$$x^2 — \pi^2 \ne 0;$$ $$x^2 \ne \pi^2;$$ $$x \ne \pm \pi;$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{2} \ (n \ne \pm 2).$$

б)

$$16 \sin x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin \frac{1}{x} = 0;$$ $$8 \sin 2x + \sin 2x \cdot \sin \frac{1}{x} = 0;$$ $$\sin 2x \cdot \left( 8 + \sin \frac{1}{x} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$8 + \sin \frac{1}{x} = 0;$$ $$\sin \frac{1}{x} = -8;$$ $$x \in \varnothing;$$

Область определения:

$$x \ne 0;$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{2} \ (n \ne 0).$$

а)

$$\cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cdot \cos x$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Используем стандартную тригонометрическую формулу двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Тогда:

$$8 \sin x \cos x = 4 \cdot 2 \sin x \cos x = 4 \sin 2x$$

Шаг 2. Перепишем уравнение

Подставляем преобразование в исходное уравнение:

$$\cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) \cdot \sin 2x = 4 \sin 2x$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону

$$\cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) \cdot \sin 2x — 4 \sin 2x = 0$$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$$\sin 2x \cdot \left( \cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) — 4 \right) = 0$$

Шаг 4. Произведение равно нулю

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sin 2x = 0$

$$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Случай 2:

$$\cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) — 4 = 0 \Rightarrow \cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right) = 4$$

Но!
Косинус любого действительного числа всегда лежит в пределах:

$$\cos t \in [-1, 1]$$

А тут:

$$\cos\left( \ldots \right) = 4 \quad \text{— невозможно}$$

Следовательно:

$$x \in \varnothing$$

Шаг 5. Область определения (ОДЗ)

В выражении под косинусом — дробь:

$$\cos\left( \frac{1}{x^2 — \pi^2} \right)$$

Чтобы знаменатель не стал равен нулю:

$$x^2 — \pi^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne \pi^2 \Rightarrow x \ne \pm \pi$$

Шаг 6. Итог

Мы нашли:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Но при этом:

$$x \ne \pm \pi$$

Проверим, при каких $n$ получается $x = \pm \pi$:

• $\frac{\pi n}{2} = \pi \Rightarrow n = 2$
• $\frac{\pi n}{2} = -\pi \Rightarrow n = -2$

Значит: исключаем $n = \pm 2$

Ответ (а):

$$\boxed{ \frac{\pi n}{2} \quad (n \ne \pm 2) }$$

б)

$$16 \sin x \cos x + \sin 2x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) = 0$$

Шаг 1. Преобразуем первую часть

$$16 \sin x \cos x = 8 \cdot 2 \sin x \cos x = 8 \sin 2x$$

По формуле:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Шаг 2. Подставим

$$8 \sin 2x + \sin 2x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) = 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $\sin 2x$:

$$\sin 2x \cdot \left( 8 + \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right) = 0$$

Шаг 4. Произведение равно нулю

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sin 2x = 0$

$$2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Случай 2: $8 + \sin\left( \frac{1}{x} \right) = 0$

$$\sin\left( \frac{1}{x} \right) = -8$$

Такого не может быть, потому что:

$$\sin t \in [-1, 1] \Rightarrow x \in \varnothing$$

Шаг 5. Область определения

В выражении:

$$\sin\left( \frac{1}{x} \right) \Rightarrow x \ne 0$$

Шаг 6. Проверка

Мы получили:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Но:

$$x \ne 0 \Rightarrow n \ne 0$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi n}{2}(n\mathrm{\ne }0)}}$$