ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x;$$ $$\frac{\mathrm{}}{}$$б)

$$\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2};$$ $$$$в)

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x;$$ $$\frac{\mathrm{}}{}$$г)

$${\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$$

Доказать тождество:

а)

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x;$$ $$\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x;$$ $$\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \sin x;$$ $$\frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2} \sin x;$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2};$$ $$\cos \left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = \cos \frac{x}{2};$$ $$\cos \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2};$$

Тождество доказано.

в)

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x;$$ $$\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x;$$ $$\frac{1}{2} \sin (2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x;$$ $$\frac{1}{2} \sin 4x = \frac{1}{2} \sin 4x;$$

Тождество доказано.

г)

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x;$$ $$\cos \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x;$$ $$\cos x = \cos x;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а)

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x$$

Шаг 1: Вспомним формулу двойного угла для синуса

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = \frac{x}{2}$

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 3: Выразим исходное выражение через это тождество

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$ $$= \frac{1}{2} \sin x$$

Шаг 4: Сравним левую и правую части

$$\boxed{\frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2} \sin x}$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Вспомним формулу косинуса двойного угла

$$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = \frac{x}{4}$

$$\cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = \cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4}$$ $$\cos \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4}$$

Шаг 3: Сравним обе части

$$\boxed{\cos \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}}$$

Тождество доказано.

в)

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$$

Шаг 1: Вспомним формулу синуса двойного угла

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \Rightarrow \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = 2x$

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x$$

Шаг 3: Сравним обе части

$$\boxed{\frac{1}{2} \sin 4x = \frac{1}{2} \sin 4x}$$

Тождество доказано.

г)

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x$$

Шаг 1: Используем формулу косинуса двойного угла

$$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = \frac{x}{2}$

$$\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \Rightarrow \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Шаг 3: Сравним обе части

$$\boxed{\cos x = \cos x}$$

Тождество доказано.