ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\cos (2a+2\beta )={\cos }^2(a+\beta )-{\sin }^2(a+\beta )$$

б)

$$\sin (2a+2\beta )=2\sin (a+\beta )\cdot \cos (a+\beta )$$

Доказать тождество:

а)

$$\cos (2a+2\beta )={\cos }^2(a+\beta )-{\sin }^2(a+\beta );$$

$$\cos(2a + 2\beta) = \cos^2(a + \beta) — \sin^2(a + \beta);$$ $$\cos (2a+2\beta )=\cos 2(a+\beta );$$

$$\cos(2a + 2\beta) = \cos 2(a + \beta);$$ $$\cos(2a + 2\beta) = \cos(2a + 2\beta);$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin (2a+2\beta )=2\sin (a+\beta )\cdot \cos (a+\beta );$$

$$\sin(2a + 2\beta) = 2\sin(a + \beta) \cdot \cos(a + \beta);$$ $$\sin (2a+2\beta )=\sin 2(a+\beta );$$

$$\sin(2a + 2\beta) = \sin 2(a + \beta);$$ $$\sin(2a + 2\beta) = \sin(2a + 2\beta);$$

Тождество доказано.

а)

$$\cos(2a + 2\beta) = \cos^2(a + \beta) — \sin^2(a + \beta)$$

Шаг 1: Узнаем форму правой части

Правая часть — это стандартная формула косинуса двойного угла:

$$\cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 2: Подставим $x = a + \beta$ в формулу

$$\cos(2(a + \beta)) = \cos^2(a + \beta) — \sin^2(a + \beta)$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть тождества

$$\cos(2a + 2\beta) = \cos(2(a + \beta))$$

Потому что:

$$2a + 2\beta = 2(a + \beta)$$

Шаг 4: Таким образом

$$\cos(2a + 2\beta) = \cos(2(a + \beta)) = \cos^2(a + \beta) — \sin^2(a + \beta)$$

Шаг 5: Сравниваем обе стороны

Левая и правая части равны:

$$\boxed{\cos(2a + 2\beta) = \cos(2a + 2\beta)}$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin(2a + 2\beta) = 2\sin(a + \beta) \cdot \cos(a + \beta)$$

Шаг 1: Узнаем форму правой части

Это — формула синуса двойного угла:

$$\sin(2x) = 2\sin x \cdot \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x = a + \beta$ в формулу

$$\sin(2(a + \beta)) = 2\sin(a + \beta) \cdot \cos(a + \beta)$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть

$$\sin(2a + 2\beta) = \sin(2(a + \beta))$$

Потому что:

$$2a + 2\beta = 2(a + \beta)$$

Шаг 4: Таким образом

$$\sin(2a + 2\beta) = \sin(2(a + \beta)) = 2\sin(a + \beta) \cdot \cos(a + \beta)$$

Шаг 5: Сравниваем обе стороны

$$\boxed{\sin(2a + 2\beta) = \sin(2a + 2\beta)}$$

Тождество доказано.