ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$tg(2a+2\beta )=\frac{2tg(a+\beta )}{1-t{g}^2(a+\beta )};$$

б)

$$tg(a+\beta )=\frac{2tg(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})}{1-t{g}^2(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})}$$

Доказать тождество:

а)

$$tg(2a+2\beta )=\frac{2tg(a+\beta )}{1-t{g}^2(a+\beta )};$$

$$tg(2a + 2\beta) = \frac{2\,tg(a + \beta)}{1 — tg^2(a + \beta)};$$ $$tg(2a+2\beta )=tg2(a+\beta );$$

$$tg(2a + 2\beta) = tg\,2(a + \beta);$$ $$tg(2a + 2\beta) = tg(2a + 2\beta);$$

Тождество доказано.

б)

$$tg(a+\beta )=\frac{2tg(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})}{1-t{g}^2(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})};$$

$$tg(a + \beta) = \frac{2\,tg\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 — tg^2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)};$$ $$tg(a+\beta )=tg2(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2});$$

$$tg(a + \beta) = tg\,2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right);$$ $$tg(a + \beta) = tg(a + \beta);$$

Тождество доказано.

а)

$$tg(2a + 2\beta) = \frac{2\,tg(a + \beta)}{1 — tg^2(a + \beta)}$$

Шаг 1: Узнаем вид правой части

Это — формула тангенса двойного угла:

$$tg(2x) = \frac{2\,tg\,x}{1 — tg^2 x}$$

Шаг 2: Подставим в формулу $x = a + \beta$

$$tg(2(a + \beta)) = \frac{2\,tg(a + \beta)}{1 — tg^2(a + \beta)}$$

Шаг 3: Заметим, что левая часть тождества тоже равна $tg(2(a + \beta))$

Поскольку:

$$2a + 2\beta = 2(a + \beta) \Rightarrow tg(2a + 2\beta) = tg(2(a + \beta))$$

Шаг 4: Сравниваем обе части

$$tg(2a + 2\beta) = \frac{2\,tg(a + \beta)}{1 — tg^2(a + \beta)}$$ $$\boxed{tg(2a + 2\beta) = tg(2a + 2\beta)}$$

Тождество доказано.

б)

$$tg(a + \beta) = \frac{2\,tg\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 — tg^2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$$

Шаг 1: Узнаем вид правой части

Это — формула тангенса двойного угла:

$$tg(2x) = \frac{2\,tg\,x}{1 — tg^2 x}$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}$

$$tg\left(2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right) = \frac{2\,tg\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 — tg^2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$$

Шаг 3: Упростим левую часть

$$2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = a + \beta \Rightarrow tg(a + \beta) = \frac{2\,tg\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 — tg^2\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$$

Шаг 4: Сравниваем обе части

$$\boxed{tg(a + \beta) = tg(a + \beta)}$$

Тождество доказано.