ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

a) sin40° + sin16°;

б) sin20° — sin40°;

в) sin10° + sin50°;

г) sin52° — sin36°.

Представить в виде произведения:

а)

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin \frac{40^\circ + 16^\circ}{2} \cdot \cos \frac{40^\circ — 16^\circ}{2} = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ;$$

б)

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} \cdot \cos \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} =$$ $$= 2 \sin(-10^\circ) \cdot \cos 30^\circ = -2 \sin 10^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \sin 10^\circ;$$

в)

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin \frac{50^\circ + 10^\circ}{2} \cdot \cos \frac{50^\circ — 10^\circ}{2} =$$ $$= 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ;$$

г)

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin \frac{52^\circ — 36^\circ}{2} \cdot \cos \frac{52^\circ + 36^\circ}{2} = 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ$$

Формулы, которые будем использовать:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

а)

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ$$

Шаг 1. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Где:

• $A = 40^\circ$
• $B = 16^\circ$

Шаг 2. Вычислим полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{40^\circ + 16^\circ}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{40^\circ — 16^\circ}{2} = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ$$

Ответ (а):

$$\boxed{2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ}$$

б)

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ$$

Шаг 1. Применим формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Где:

• $A = 20^\circ$
• $B = 40^\circ$

Шаг 2. Найдём полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} = \frac{-20^\circ}{2} = -10^\circ$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \sin(-10^\circ)$$

Шаг 4. Используем нечетность функции синуса:

$$\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ \Rightarrow = -2 \cos 30^\circ \cdot \sin 10^\circ$$

Шаг 5. Подставим значение косинуса:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 10^\circ = -\sqrt{3} \sin 10^\circ$$

Ответ (б):

$$\boxed{-\sqrt{3} \sin 10^\circ}$$

в)

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ$$

Шаг 1. Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Где:

• $A = 10^\circ$
• $B = 50^\circ$

Шаг 2. Находим полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{-40^\circ}{2} = -20^\circ$$

Шаг 3. Подставим:

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos(-20^\circ)$$

Шаг 4. Используем четность функции косинуса:

$$\cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ \Rightarrow 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ$$

Шаг 5. Подставим значение синуса:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$$

Ответ (в):

$$\boxed{\cos 20^\circ}$$

г)

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ$$

Шаг 1. Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Где:

• $A = 52^\circ$
• $B = 36^\circ$

Шаг 2. Вычислим полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{16^\circ}{2} = 8^\circ$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \cos 44^\circ \cdot \sin 8^\circ$$

Шаг 4. Перепишем в стандартной форме:

$$= 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ$$

Ответ (г):

$$\boxed{2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ}$$

Итог:

а) $\boxed{2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ}$
б) $\boxed{-\sqrt{3} \sin 10^\circ}$
в) $\boxed{\cos 20^\circ}$
г) $\boxed{{\displaystyle 2\sin 8^{\circ }\cdot \cos {44}^{\circ }}}$