ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представить в виде произведения:

а)

$$\frac{1}{2} — \cos t = \cos \frac{\pi}{3} — \cos t = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} =$$ $$= -2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{t}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \sin \left( \frac{t}{2} — \frac{\pi}{6} \right);$$

б)

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t = \sin \frac{\pi}{3} + \sin t = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} =$$ $$= 2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right);$$

в)

$$1 + 2 \cos t = 2 \left( \frac{1}{2} + \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos t \right) =$$ $$= 2 \cdot 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} = 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right);$$

г)

$$\cos t + \sin t = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t \right) =$$ $$= \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right) = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + t \right);$$

а)

$$\frac{1}{2} — \cos t$$

Шаг 1: Заменим $\frac{1}{2}$ на $\cos \frac{\pi}{3}$

$$\frac{1}{2} — \cos t = \cos \frac{\pi}{3} — \cos t$$

Шаг 2: Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{3}$,
• $B = t$

$$= -2 \sin\left( \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} \right)$$

Шаг 3: Преобразуем дроби:

$$= -2 \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right)$$

Шаг 4: Переписываем с перестановкой:

$$= 2 \sin\left( \frac{t}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \sin\left( \frac{t}{2} — \frac{\pi}{6} \right)$$

(поменяли знаки у синусов и вынесли минус из формулы, чтобы получилось положительное выражение)

Ответ (а):

$$\frac{1}{2} — \cos t = 2 \sin\left( \frac{t}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \sin\left( \frac{t}{2} — \frac{\pi}{6} \right)$$

б)

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$$

Шаг 1: Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\sin \frac{\pi}{3}$

$$= \sin \frac{\pi}{3} + \sin t$$

Шаг 2: Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{3}$,
• $B = t$

$$= 2 \sin\left( \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} \right)$$

Шаг 3: Преобразуем:

$$= 2 \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right)$$

Ответ (б):

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t = 2 \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right)$$

в)

$$1 + 2 \cos t$$

Шаг 1: Вынесем 2 за скобки:

$$= 2 \left( \frac{1}{2} + \cos t \right)$$

Шаг 2: Заменим $\frac{1}{2}$ на $\cos \frac{\pi}{3}$

$$= 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos t \right)$$

Шаг 3: Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{3}$,
• $B = t$

$$= 2 \left[ 2 \cos\left( \frac{\frac{\pi}{3} + t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\frac{\pi}{3} — t}{2} \right) \right]$$

Шаг 4: Преобразуем:

$$= 4 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right)$$

Ответ (в):

$$1 + 2 \cos t = 4 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{t}{2} \right)$$

г)

$$\cos t + \sin t$$

Шаг 1: Представим сумму в виде линейной комбинации:

$$\cos t + \sin t = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin t \right)$$

Шаг 2: Заметим:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Используем формулу:

$$a \cos t + b \sin t = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(t + \varphi), \text{ если } a = \cos \varphi,\, b = \sin \varphi$$

В нашем случае:

$$= \sqrt{2} \cdot \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right) = \sqrt{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} + t \right)$$

Ответ (г):

$$\cos t+\sin t=\sqrt{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{4}+t)$$